应用型本科院校复变函数教学创新的一点思考

许东亮

【摘 要】通过对应用型本科院校高级应用型人才培养目标的分析，提出工科复变函数教学及考核模式创新思路。实践表明，复变函数教学的创新有助于提升学生的积极性，提高学习效果，加强学生理论联系实际的能力，并对学生给出更公正的考核。

【关键词】复变函数；类比；化归；考核

复变函数是以复数为研究对象的函数体系，是实变函数的延伸。复变函数作为数学理论的一个重要分支，有着深刻的实际应用，为机电工程，信息工程和自动化等工科领域的发展提供了理论依据。

作为应用型本科学院，我院大多工科专业开设了复变函数课程，是不可或缺的专业基础课。该课程相较于高等数学而言，教学难度更大，学生学习效果也不甚理想。根据本人多年从事复变函数教学的经验和教训，对复变函数教学作出梳理分析，并对教学创新提出自己的一点心得体会，为后续教学设计提供更合理的教学方案。

1 学院复变函数教学现状

尽管复变函数在工程技术中有很重要的应用，但是应用型本科院校并没有给出足够的重视，尤其在以下几个方面有明显体现。

第一，课程学时安排太少是最大的表现和制约。通过深入了解，大多普通应用型本科院校的复变函数课时安排通常为32学时。而本校的课时限定为24学时，过少的课时设置对上课内容的安排提出了极大的挑战。首先，在课时过少情况下，就需要对内容做必要的删减，比如很难有时间安排共形映射的讲解，这极大影响了内容的完整性和系统性。其次，讲解过程中仅能讲授基本的知识和方法，对结论的推导过程未能做详尽的论述。没有系统的复变函数知识学习，无法做到有效去理解其内涵，更谈不上理论联系实际，进而影响到实践应用。

第二，相关院系对复变函数课程不重视。还体现在对高等数学课程相关知识的删减。有的院系错误的理解了应用型人才培养的目标定位，认为高数是基础课，里面的基础知识对应用型人才的培养不太重要，故而把级数和积分等章节的知识移出教学大纲。复变函数级数和积分等章节占据了重要的地位，是工程经济应用的核心理论支持之一。复变函数级数和积分知识的学校需要以高等数学级数和积分知识为铺垫，在缺乏高等数学相应知识的前提下无法正常学习复变函数相关知识。为了正常的教学开展，教师也只能在有限的学时下，先讲高数知识再讲复变知识。“浪费”了宝贵的学时，进一步压缩了其他章节的学时，导致学生感觉老师上课速度过快知识过多，对学习效果和信心产生负面的心理。

第三，学生本身对复变函数学习的不够重视。由于复变函数被设定为院选课，而非必修课，学生会在心里上“轻视”。表现为不愿意在平时花功夫学习，而在期末突袭应付，靠老师讲重点；还有对布置的作业题目置之不理或者抄袭的也不在少数。另外，学生来自不同的省份，基础不同也会影响教学质量和效果。综合以上各种因素，难免出现考试通过率不是很高，以及两极分化的情况。最后学校为了提高毕业率，增设清考来“弥补”。

教学和考核是整个学习过程的两个环节，基于应用型本科院校复变函数课的现状，对教学及考核环节的创新显得尤为紧迫。本人根据多年的经验，对教学和考核提出一点心得体会，并给出自己的创新思路和建议。

2 教学和考核模式创新思路

教学是知识传授过程的核心环节，只有努力在教学创新上下功夫，才能提升教学质量和效果。实践表明，类比思想和化归思想是学习复变函数最为重要的思想方法。

第一，深刻意识到类比教学在教学过程中的极端重要性，并备足功课加以落实。复变函数作为高等数学基础上的延伸课程，是由实变量函数到复变量函数的推广。在教学环节，优先介绍复变函数的知识架构，使学生对复变课程有宏观的认识，通过类比高等数学不难发现，在复变函数的八章内容中有大部分概念是与高等数学相关章节有直接相关的，比如，函数的概念，导数，积分，级数，傅里叶变换和拉普拉斯变换等。首先，通过类比教学能让知识由高数知识类比过渡到复变相关知识，有了自然的衔接学生更易于接受新知识。其次，从定义性质等多角度引导学生类比探讨出复变知识与高数相关知识的共性，这样即可强化学生学习过程的主体意识和积极性，又能提升学习效果。更主要的是，这种类比教学能在有限的总学时内节省出宝贵时间，便于教师把重心用于讲解复变函数知识相较于实变知识的差异性和拓展部分，使学习更高效。比如，教师可侧重讲授函数解析与可导的差异；洛朗级数如何泰勒级数延伸而来；相较于实积分，复积分可表示高阶可导性问题等。

第二，化归思想是贯穿整个复变函数课程学习的有力工具。类比学习为学生提供学习的宏观思路，而化归思想从微观层面把每个复变知识点与高数知识点建立起具体的关系。复数由实部和虚部两部分构成，复数与复平面的点之间形成一一对应关系，复数取值二维性是把复变函数大部分知识点化归到实二元的認知基础。比如说，复变函数极限形式上可表现为一元或二元极限，但本质上等价于二元实函数极限；复变函数的导数定义形式虽以一元函数导数呈现，而本质上等价于实二元函数求导；另外，复变函数积分的定义和性质表现为形式上的一元性，但化归为实二元函数的第二类曲线积分等。化归思想是学习复变函数的一条极其重要的主线。

考核是对学习效果的检验，是学习的重要环节。科学合理的考核形式既能公正客观评价学生的学习过程和效果，也能有效提升学习复变函数的积极性。现在普遍采用的考核办法多为期末考试成绩为考核唯一标准，而缺陷比较明显，本人对考核的认识有下面几个方面。首先，改变期末考试成绩作为考核唯一标准的惯例。一次考试成绩定“终身”往往会产生纰漏，未必能全面反映一个学生的真实成绩。其次，把课堂环节的表现作为成绩的一部分。复变函数是在工程经济技术中有广泛应用的课程，为体现其理论联系实践的“价值”，教师先做实例讲解，然后对学生分组，每组一个具体的问题，比如，探讨解析函数在流量与环量以及静电场的应用等；交流复变换在微观经济以及投影中的应用等。最后，考核形式也可以是提交论文。结合学生的专业背景，教师对论文提出具体的要求，根据学生的完成水平给出成绩等。

台上为师，台下为生。教师只有在台下认真努力提升自己的专业素养，勤于专研教学教法，把类比思想和化归思想两大法宝运用到每堂课的讲解中，提高学习效率。此外，通过更合理的考核，激励引导学生发挥最大的潜能。相信只要教师努力，相关院系给予重视，一定能把复变函数知识更好的传递给学生，培养出国家需要的高级应用型人才。

【参考文献】

[1]王绵森.复变函数.高等教育出版社，2008，6.

[2]包革军.复变函数与积分变换.科学出版社，2013.endprint