浅谈数形结合思想在中学数学解题中应用

张长耀 王坤 郑灿伟 刘秀丽

【摘要】数形结合思想是中学数学中重要的数学思想，在解题过程中，运用数形结合思想，往往可以将抽象的问题具体化，复杂的问题简单化.在历年高考中对数形结合思想都有不同形式考查，本文结合近几年高考中涉及的题目，举例探讨了数形结合思想在中学数学解题中应用.

【关键词】数形结合；中学数学；解题

【基金项目】2015年度自治区教学研究改革项目《基于培养数学应用能力的大学数学模式探索》（藏教高[2015]17号）研究成果.

数学上把“数”与“形”结合起来理解，认识问题的方法，就称为数形结合思想[1].数形结合思想是非常重要的数学思想，它贯穿着整个高中数学内容的始终，是新课标要求注重的数学思想之一.数形结合是数学解题中常用的思想方法，在解决问题的过程中，有时需要借助图形来直观生动的解释数量之间的联系，即“以形助数”；有时需要通过建立适当的坐标系把几何图形问题代数化，借助数量的精确性和严密性来具体地说明事物的特征，即“以数解形”.数形结合往往可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使很多数学问题迎刃而解，而且解法简捷.正如我国著名数学家华罗庚所说：“数无形时不直观，形无数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”[2]，在数学解题中应充分利用这种结合，寻找解题思路.历年的高考题中，都会有些题目通过不同的形式对数形结合思想进行考查，在本文中，笔者根据多年的教学经验，结合近几年高考中涉及的题目类型，通过一些例子来探讨数形结合思想在中学数学解题中的应用.

一、运用数形结合思想解决绝对值问题

例1 （2015年山东卷）解不等式|x-1|-|x-5|<2.

分析 如图1所示，题中抽象的数字1，5用数轴上的点A，B来表示，|x-1|，|x-5|分别表示点x到点A，B的距离.设有一点C，使得|AC|-|CB|=2，由图可知，C表示数4，而|x-1|-|x-5|<2表示x在C的左侧，所以原不等式的解集为（-∞，4）.

此题利用绝对值在数轴上的几何意义，运用数形结合思想，避免了分段讨论的复杂过程，达到了以简驭繁的目的.

二、运用数形结合思想解决线性规划问题

例2 （2014年山東卷）已知x，y满足约束条件x-y-1≤0，2x-y-3≥0， 求当目标函数z=ax+by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值25时，a2+b2的最小值.

分析 以变量x为横坐标轴，y为纵坐标轴画出直角坐标系.图示约束条件，找出可行域，见图2阴影部分.图示目标函数，由于z是一个要优化的目标函数值，随z的变化，z=ax+by是斜率为-ba的一组平行的直线，当代表目标函数的那条直线经过点E时，目标函数取到最小值25.点E的坐标可由求解直线方程x-y-1=0和2x-y-3=0得到，为E（2，1），即2a+b=25.该问题转化为当a>0，b>0且2a+b=25时，求a2+b2的最小值.如图3，2a+b=25的图像表示线段AB，而a2+b2就是线段上点（a，b）到原点的距离（a-0）2+（b-0）2的平方，已知线段AB上点到原点距离最小为|-25|22+12=2，故在该约束条件下取到最小值25时，a2+b2的最小值为4.

对于线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解.具体的步骤可概括为：在平面上建立直角坐标系；图示约束条件，找出可行域或判别是否存在可行域；图示目标函数，寻找最优解.通过作图求解线性规划问题，解法简单直观.

三、运用数形结合思想解决复数方面的问题

例3 （2015年全国卷）设复数z满足1+z1-z=i，则|z|=（ ）.

分析 如图4所示，设BC=z，则BD=-z，故有B，C，D三点共线，从而有AC=1+z，AD=1-z.由已知，复数z满足1+z1-z=i，根据复数除法的几何意义，两个复数相除的结果是一个复数，这个复数的模是相除的两复数模的商，幅角是相除两复数幅角的差.从而有|1+z|=|1-z|，且∠COD=π2，又B是CD的中点，所以|z|=|AB|=|BC|=|BD|=1.

复数与形具有紧密的联系，通过建立直角坐标系，可以将复数和直角坐标系中的点以及平面向量建立一一对应关系，根据复数运算的几何意义采用数形结合的方法将问题化为几何问题，可达到事半功倍，化难为易，化繁为简的目的.

四、应用数形结合思想解决有关函数问题

例4 （2015年全国卷）设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，求a的取值范围.

分析 首先，判断函数f（x）的单调区间，f′（x）=ex（2x+1）-a，令f′（x）=0，得ex（2x+1）-a=0，即f（x）的驻点满足方程2x+1=ae-x，令g（x）=2x+1，h（x）=ae-x，方程2x+1=ae-x的解即是g（x）和h（x）表示的图像的交点.如图5所示，g（x）=h（x）有唯一解x*，当xx*时，g（x）>h（x），即f′（x）>0.所以当xx*时，f（x）单调递增.其次，观察到f（0）=-1+a<0，故要使f（x）存在唯一的整数x0，使得f（x0）<0，必有f（-1）=-3e-1+2a≥0，f（1）=e≥0，从而解得32e≤a<1.

本题目中运用数形结合思想，将求函数驻点的过程转化为图形上两条曲线的交点问题，进而判断出函数的单调区间，用图形来说明简单明了，从而将复杂的问题简单化.

五、运用数形结合思想解决立体几何问题

例5 如图6所示，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60°，EC⊥面ABCD，FA⊥面ABCD，G为BF的中点.若EG∥面ABCD，AF=AB，求二面角B-EF-D的余弦值.

分析 建立如图7所示的坐标系，设AB=2，则B（3，0，0），E（0，1，1），F（0，-1，2），D（-3，0，0），EF=（0，-2，1），EB=（3，-1，-1），DE=（3，1，1）.设平面BEF的法向量n1=（x，y，z），则-2y+z=0，3x-y-z=0， 令y=1，则z=2，x=3，所以n1=（3，1，2）.

同理可求得平面DEF的法向量n2=（-3，1，2）.

设所求二面角的平面角为θ，则cosθ=-14.

通过建立平面直角坐标系，将立体几何中的点、线、面等对象用数量关系表示出来，将几何问题转化为代数运演，进而获得几何结论，可以大大降低几何推理的难度.

通过以上几个方面，我们更加深刻认识到数形结合是一种重要的数学思想，是数学解题中的一种重要方法，在解题过程中，运用数形结合的思想方法分析问题和解决问题，能给我们解题带来一种全新的思路，能避免复杂的计算和推理，简化解题过程，提高解题效率.

【参考文献】

[1]张志锋.浅谈数形结合思想[J].宿州教育学院学报，2011（5）：145-147.

[2]黄迎艳.浅析“数形结合”思想在数学教学中的应用[J].读与写（教育教学刊），2014（3）：251-252.

[3]王淑萍.利用数形结合思想，提高学生的联想能力[J].江苏教育学院学报（自然科学版），2012（2）：61-62.

[4]林福珠.数形结合，例题解析[J].学周刊，2012（1）：145.