初探高中数学解题中的数形结合思想

吴涛

【摘要】数形结合思想是中学数学中最为常见的数学思想之一，在对“数”与“形”的综合应用与转化之中解决许多看似困难的问题.因为其应用广泛并且意义非凡，因而，也成为中学数学学习的一个重点和难点，本文主要通过数形结合在中学数学中的应用实例来明确其应用的方式和相应的解题方法.并提出相应的学习方法，培养学生的数形结合能力和意识.

【关键词】数形结合思想；中学数学；结合应用

中学数学是一门需要技巧与思想的学科，其内容如三角函数、立体几何、导数、向量均不是容易掌握的内容，而数形结合思想的应用可以便利的解决这些内容中大部分原本晦涩难懂的问题.而如何准确且熟练地在解题过程中应用数形结合思想便利学生的数学学习便是本文的研究重点，具体而言，数形结合思想有何明显的特征？如何使用数形结合思想解决现实问题？都是本文要回答的问题.

一、数形结合思想简述

数与形是数学研究的两个基础学科.早在数学发展的初期，人们就知道他们可以用简单的数字表达，以帮助他们理解和记忆.近代以来，“数形结合”四个字正式出现是在华罗庚先生的数学著作《谈谈与蜂房有关的数学问题》一书中，算是近代数学思维体系中第一次把数形结合确立为思想的范畴加以分析和应用.数形结合思想和应用几乎贯穿整个中学数学学科教材的始终，从实数、平面几何、方程、函数到导数、立体几何、圆锥曲线、实际应用等几乎全部的数学学习内容都可以发现数形结合思想的踪迹，这也是为什么要研究数形结合思想的最重要的因素，分布广泛.

二、数形结合思想的具体应用

（一）利用数形结合求解集合问题

例1 已知集合U={x|x2-3x-28≤0}，K={x|x2-x-6>0}，则U∩K为（ ）.

A.{x|x>3或x<-2}

B.{x|-1≥x≥-4或3≤x<7}

C.{x|-2≥x≥-4或3

D.{x|x<-2或x≥3}

集合作为中学数学的基本问题解决的是一定范围的、确定的对象之间关系的问题.它是一个数学的基础理论.但是对问题的描述往往枯燥而缺乏生动形象的形式.因而，数形结合能够有效地解决这类问题.首先，所有的集合问题都可以根据对相应对象的代数描述获取其几何表示的信息，这要求具有一定的数形结合能力和意识，具体到本题而言，根据题干中提供的两个集合（求解二次方程获得解集）将解集各自表示在一条一维坐标轴上，如下图所示.

根据集合中对交集的描述，很容易解决问题.

（二）利用数形结合求解函数问题

例2 一次函数y=kx+b与二次函数y=cx2+bx+k在同一直角坐标系中的图像大致位置可能是（ ）.

“以形助数”思想在数形结合问题中最为常见，其可以化解传统代数问题缺乏形象直观的问题，它可以应用于函数的最基本的功能，以及更复杂的三角函数，多函数，幂函数，指数函数，三角函数等，基本方法就是利用直观的函数图像来还原隐藏在题目字里行间的解题信息，图像的交点，单调性，对称性的函数，定义域和值域，最值问题可以通过适当的函数图像解决.例2是一类基本的函数应用问题——画函数图像.函数图像是数形结合的重点，而这类型的应用也是后期很多题型的基本特点和组成要素.所以，在初识函数的时候要善于利用数形结合思想理清不同函数的性质和图像走势，这对学习知识、强化能力都大有裨益.

（三）利用数形结合求解特殊问题

数形结合思想还可用来求解一类中学数学中的特殊问题.所谓特殊问题，是指这类问题常常是某个具体知识的变化或者某几种不同问题的结合.这类问题主要有：复杂函数的对称性问题、零点问题、多内容综合问题等.

例3 已知0

D.1，2，3

上述问题就属于本节所言的特殊问题，初看上去，这是一道求解方程实根的问题，可是该方程并不是一个简单的基本形式的方程，可以看出，

在其中含有指数，对数，绝对值.而且对数函数的底数是一个有自身定义域的值.这样一个综合性的问题，它是中学数学教学当中用来比较学生解决问题的能力和用组合思想解决问题的次数.根据相关函数的图像，可以画出该方程的图像，如右图.

根据基本方程，我们可以知道，根的数目是两个图像的交点的数目，所以我们可以在解决这个问题的帮助下，得知组合的数量和形状.

三、结 语

“數形不分家”是基本的数学理论，数形结合思想可以将枯燥的“数”和生动的“形”紧密地结合起来.在该选题对数形结合思想的研究之中，笔者对其在化繁为简、化难为易方面的能力有了直观的感受，相信这也是奋斗在中学教学一线的教师和学生们共同的感受.而要在日常的教学学习实践过程中多加总结才能丰富数学见闻、掌握数学知识、领略数学科学精深的魅力.

【参考文献】

[1]张亮.数形结合法的几个应用[J].井冈山师范学院学报，2003（5）：88-90.

[2]刘雨智.浅谈数形结合在解题中的应用[J].各界（科技与教育），2013（2）：82-93.

[3]何新艺.数形结合在极值与最大值问题中的应用[J].中国校外教育，2013（12）：107.