让高考复习从研究教材习题开始

唐明超+龚雪平

摘 要：高考注重基础知识与基本技能的考查，强调数学思想的渗透；备考过程要回归教材、研究教材，提炼数学思想和基本方法，立足基础，适当拓展；本文以函数与导数为例，探究复习从课本抓起的具体做法和有效性。

关键词：高考复习；回归教材；母题拓展

一、 从教材中寻找高考母题

真题1 （2015·全国卷Ⅱ）设函数f（x）=1+log2（2-x），x<1

2x-1，x≥1则f（-2）+f（log212）= 。

母题1 （新人教A版必修1 P45B组T4）

已知函数f（x）=x（x+4），x≥0x（x-4），x<0求f（1），f（-3），f（a+1）。

真題2 （2014·全国卷Ⅱ）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，f（2）=0，若f（x-1）>0，则x的取值范围是 。

母题2 （新人教A版必修1 P39B组T3）已知函数

f（x）是偶函数，而且在（0，+

SymboleB@ ）上是减函数，判断f（x）在（- SymboleB@ ，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断。

真题3 （2015·全国卷Ⅰ） 若函数f（x）=xln（x+a+x2） 为偶函数，则a= 。

母题3 （新人教A版必修1P83B组T3）对于函数

f（x）=a-22x+1（a∈R）。

（1）探索函数f（x）的单调性；

（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？

真题4 （2014·全国卷Ⅱ）设曲线y=ax-ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a= 。

母题4 （新人教A版选修2-2P18A组T6）已知函数y=xlnx。

（1）求这个函数的导数；

（2）求这个函数图像在点x=1处的切线方程。

二、 高考题与教材母题对比分析

真题1 考查分段函数的概念与性质，结合指数函数与对数函数，考查学生的计算能力，难度不大，直接代入相应解析式求解，结果为9。

母题1 课本复习B组题，考查学生对分段函数概念的理解，要求能够求出具体函数值，会用分类讨论的思想解决含参数问题。

真题2 考查对函数性质的理解，主要体现在函数的奇偶性，单调性；强调一题多解。

解法1 因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）=f（|x|）；

故不等式f（x-1）>0可化为f（|x-1|）>0；因为f（x）在[0，+∞）上单调递减，且f（2）=0，故|x-1|<2，得-1

解法2：因为f（x）为偶函数，且f（2）=0，所以f（-2）=0，作出大致图像可知取值范围是（-1，3）。（图略）

母题2 该题考查学生对函数奇偶性与单调性的准确理解。

真题3 类比母题2，主要考查函数奇偶性和对数的运算法则。

母题3 该题考查如何用定义法证明函数单调性，同时考查学生对函数奇偶性的灵活运用。

真题4 该题考查导数的几何意义及切线方程的求解方法。

母题4 该题考查导数的计算，几何意义的理解和运用。

三、 高考复习中教材习题的拓展举例

母题1 （新人教A版必修1 P25B组T3）

函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数；例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2；当x∈（-2.5，3]时，写出函数解析式，并作出函数图像。

拓展1 已知函数f（x）=x-[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数。若关于x的方程f（x）=kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是 。

拓展意图：在能够解决课本习题的基础之上，引导学生归纳处理同类问题的基本方法，沿着母题的设计思路将题目适当地拓展与延伸，目的在于突出数形结合思想的应用。通过引导学生作出图像，利用几何直观，不难得出直线f（x）=kx+k过定点（-1，0），从而结合图像不难得出答案

-1，-12∪14，13。

拓展2 对于任意实数x，[x]是不超过x的最大整数。那么[log21]+[log22]+[log23]+[log24]+…+

[log21024]= 。

拓展意图：考查函数的求值问题时，对数运算对于基础较薄弱的同学来说是一个难点，不妨借此机会综合对数运算和数列求和来考查学生的转化与化归能力。易知

[log21]=0，

[log22]=[log23]=1，[log24]=…=[log27]=2，

[log28]=…=[log215]=3，

[log216]=…=[log231]=4…[log21023]=9，

[log21024]=10，则原式=1×2+2×22+3×22+4×24+…+9×29+10，用“错位相减法”可以求出结果8204。

拓展3 设f（x）=[x·[x]]，x∈[1，3].则f（x）的值域为 。

改编意图：借取整函数，帮助学生再次理解函数的概念，巩固与提升学生的抽象能力和逻辑推理能力.解得x∈[1，3]时，f（x）的值域为{1，4，5，9}

母题2 （新人教A版必修1 P44A组T8）设

f（x）=1+x21-x2，求证：（1）f（-x）=f（x）；（2）f1x=-f（x）。

拓展4 设在R上的函数f（x）满足：f（tanx）=1cos2x，则

f（2）+f（3）+…+f（2012）+f12+f13+…+f12012= 。

拓展5 函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=1f（x），若f（1）=-5，则f（f（5））= 。

拓展6 若奇函数f（x）（x∈R）满足f（2）=1，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）= 。

拓展7 偶函数f（x）与奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=1x-1，则f（x）= 。

拓展意图：由母题2的证明过程得到启发，可以巧妙地利用这一性质特点适当拓展母题得到新题，考查求值，从而得到拓展1，这既总结了处理课本习题的基本思路和方法，也实现了对基础知识的拓展和提升，锻炼了学生的思维，开拓了学生的视野.基于历年对函数奇偶性这一知识的考查，侧重点均在于利用性质解决抽象函数的相关问题，为了帮助学生更能适应高考，借助常见模型给予改编，从而得到拓展2，3，4；以期培养学生善于观察比较，灵活变通的思维能力，打破思维定势，通过拓展，帮助学生体会高考题的命题思想，逐渐掌握命题规律。

母题3 （新课标人教A版必修1 P83B组T4）设

h（x）=ex-e-x2，求证：

（1）[g（x）]2-[f（x）]2=1；

（2）f（2x）=2f（x）·g（x）；

（3）g（2x）=[g（x）]2+[f（x）]2。

拓展8 设f（x）=ex-e-x2，

g（x）=ex+e-x2，给出如下结论：①对任意x∈R，有[g（x）]2-[f（x）]2=1；②存在实数

x0，使得f（2x0）>2f（x0）g（x0）；③不存在实数x0使得g（2x0）<[g（x0）]2+[f（x）]2；④对任意x∈R，有f（-x）g（-x）+f（x）g（x）=0；

其中所有正确结论的序号是（ ）

拓展9 已知函数F（x）=ex满足F（x）=g（x）+h（x），且g（x），h（x）分别是R上的偶函数和奇函数，若x∈[1，2]使得不等式g

（2x）-ah（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是 。

解析：由F（x）=g（x）+h（x）=ex得F（-x）=g（-x）+h（-x）=e-x；从而解得g（x）=ex+e-x2，h（x）=ex-e-x2；

由g（2x）-ah（x）≥0得e2x+e-2x2-aex-e-x2≥0。参数分离得a≤ex-e-x+2ex-e-x，当且仅当

ex-e-x=2时取“=”满足[1，2]，故a≤22。

拓展意图：如果将结论作为备选条件，就可以改编成客观题，此时题目的难度将会有所降低，灵活性将会增强，学生更容易下手，从而得到拓展1；保证题设不变，巧妙构造函数，设计不等式恒成立问题，培养学生构造函数的能力，利用分离参数法解决不等式恒成立问题得到拓展2。

真题探源，寻找真题与母题的相似性和改编规律；再结合平时教学过程中常见到的设问技巧和方法，尝试将教材上一些比较典型的题目加以改造，得到一些课本改编题，都是同样的知识和理论方法，稍微改变设问方式，题目的表现形式却大有不同，这样做一方面可以巩固学生已有知识经验，另一方面可以加深学生对已有知识和基本方法的理解与掌握，注重课堂生成，总结一般规律，跳出题海，引导学生真正感受一题多变，多题一解的基本规律，有助于锻炼学生的思维能力，提升学生的解题技巧和解题效率，减轻学生的学习负担；当然，对于培养数学核心素养也是功不可没。

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]普通高中課程标准实验教科书数学选修2-2[M].北京：人民教育出版社，2007.

作者简介：唐明超，龚雪平，云南省昆明市云南师范大学。endprint