关于一个特殊矩阵的幂的问题

朱双荣

摘 要：本文由两个特殊的低阶方阵的n次幂，猜测出一种形式相似的k阶方阵的n次幂的结果，然后用数学归纳法证明了结果的正确性.

关键词：方阵；n次幂

一、 引言

求矩阵Ak×k的n次幂An一般有以下两种方法：（1）若矩阵A能对角化，可以先计算矩阵A的特征值与特征向量，然后写出k个特征值构成的对角矩阵Q以及相应的特征值所对应的k个线性无关的特征向量所构成的可逆矩阵P，此时有P-1AP=Q，然后通过An=PQnP-1 计算出An；（2）通过计算A2，A3等低次幂寻找其中的规律，猜测An的结果，然后用数学归纳法进行证明。

二、 问题的提出

四、 小结

本文不仅得出了这个特殊矩阵的n次幂的结果，同时也道出了一种解题方法：那就是先通过两个与所要求的矩陣形式相似的低阶矩阵的n次幂中找出规律，从而猜测所要求的矩阵的n次幂的结果，然后用数学归纳法证明其正确性.

参考文献：

[1]钱吉林.代数学辞典.华中师范大学出版社，1996.endprint