试分析复数在高中数学解题中的应用

吴圳河

摘 要： 现阶段，在高中时期的数学课程之中，复数属于一块必要内容。最近几年，有关复数的高考试题整体难度得到了一定降低，而且复数知识更多的是以补充的一个知识点出现。尽管如此，复数依然在解高中时期的数学问题当中有着重要应用。基于此，本文在对复数概念加以具体概述的基础上，深入探究解高中时期数学问题当中复数知识的具体应用，以期对高中数学当中的解题教学予以相应指导。

关键词： 高中数学;复数;解题训练

和其他模块数学知识相比，复数知识具有非常强的实用性，但是多数学生对此并无意识，其仅仅认为复数知识具有很大的理解难度，而且解题期间的准确率较低。而在新课改有关要求之下，对复数有关内容加以探索，同时深入分析复数在解高中时期数学问题当中的具体运用有着较大现实意义。

一、 关于复数的概述

高中生对于实数运算法则比较熟悉，而以实数为基础，增加i，同时将其记为a+i，之后用一个实数b和i相乘，同时记为bi，把两则运算进行相加，便得复数形式a+bi。在这之中，a和b是实数。

一般来说，学生对复数进行认识可以分成两个阶段。第一，复数产生在数学这个领域，在对三次方程加以求解期间对负数的开平方这种形式进行了发现，同时不少三次方程具有的三个实根是客观存在的。这就和人们以前认知产生矛盾，而为对这一问题进行解释，人们于是引入复数概念。第二，人们发现，对平面旋转这一运动进行研究之时，复数和其运算可以为其构建有效模型，进而使得复数理论得到人们认知以及重视。而且，复数和实数一样，同样拥有四则运算，然而其计算具体形式以及结果内涵却和实数不同。i仅为虚数单位，人们还规定了i 2=-1。

二、 解高中时期数学问题当中复数的应用

（一） 借助复数求解函数值

解高中数学当中函数问题之时，借助复数有关知识求函数值域，可以使得解题难度得以降低，提升学生的解题效率以及准确率。

例如，已知x是实数，求函数y= x 2+x+1 - x 2-x+1 的值域。

分析：按照题设当中已知条件，根据常规方法对函数值域进行求解，需要先把函数具有的定义域求出来，之后在借助函数有关性质求函数值域。这个过程较为复杂，而且在计算期间极易出现错误。然而若是借助复数知识对该问题进行求解，则解题过程便会得到简化。

解：由于y= x 2+x+1 - x 2-x+1 ，可将其简化成：

y= （x+ 1 2 ） 2+（  3  2 ） 2 - （x- 1 2 ） 2+（  3  2 ） 2

之后根據此来构造复数：

z1=（x+ 1 2 ）+  3  2 i，z2=（x- 1 2 ）+  3  2 i

之后再按照复数模的性质，能够得到：y=|z1|-|z2|。

由于||z1|-|z2||≤|z1|-|z2|=|（x+ 1 2 ）+  3  2 i-（x- 1 2 ）+  3  2 i|=1，

当且仅当z1=kz2之时可以取等号，然而明显有z1≠kz2，其中k为实数。

因此有||z1|-|z2||≤1，因此-1

（二） 三角函数当中复数的应用

因为复数可表示为z=r（cosθ+isinθ）这种形式，同时还存在欧拉公式：

r（cosθ+isinθ）=re iθ，进而有：

（1） argz1z2=argz1+argz2，arg z1 z2 =argz1-argz2

（2） （cosθ+isinθ） n=cosnθ+isinnθ

因此三角函数当中不少问题全都可借助复数进行求解。

综上可知，在解高中时期的数学问题之时经常对会复数有关知识加以运用，不管是对三角函数的等式加以证明，求函数值，还是进行复数类的计算时，全都能对复数知识加以运用。由此可见，复数知识是解高中时期的数学问题的重要工具。

参考文献：

[1]李嘉益.高中数学复数问题解决的数学意识赏析[J].中国高新区，2018（01）：89.

[2]邓燚.高中数学中复数的乘法的运算律解析[J].中国高新区，2017（15）：88.

[3]赵秀.复数几何意义在初等数学中的应用[J].黑龙江科学，2017，8（02）：42-43.