如何提高数列解题能力

摘要：如果遇到数列和函数，一般利用函数的性质，图像研究数列问题，利用数列的范围，公式，求和方法对相关式子化简变形，注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于数列综合问题的解决。

关键词：核心素养；数列；解题

2017年高考已经过去几个月了，数学的硝烟渐渐散去，却让我们看到了高考的方向，加强理性思維考察，突出选拔性，对于数列，我认为体现了基础性，综合性，应用性和创新性。考察数学核心素养，体现了数学的科学价值和理性价值。数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质。等差数列和等比数列是两种最基本，最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，与函数，方程，三角，不等式内容有着广泛的联系，在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步提高，这部分内容将会是重头戏，特别是数列和不等式，这几年高考中的数列难题总是和不等式有关，而这恰好就是一个特别的难点，下面我用一个例题来说：

【例】已知各项均为正整数的数列{an}满足 an1），使得a1+a2+…+ak=a1·a2…ak，an+k=k+an（n∈N*）。

（1）当k=3，a1a2a3=6时，求数列{an}的前36项的和S36；

（2）求数列{an}的通项公式an；

（3）若数列{bn}满足bnbn+1=-21·12an-8，且b1=192，其前n项积为Tn，试问n为何值时，Tn取得最大值？

分析：（1）设cn=a3n-2+a3n-1+a3n，由an+3=3+an，得cn+1=cn+9，所以数列{cn}是公差为9的等差数列，由此可求数列{an}的前36项的和S36；

（2）确定a1=1，a2=2，a3=3，且an+3=3+an，从而可求数列的通项公式；

（3）根据bn·bn+1=-21·12an-8，可得bn+1·bn+2=-21·12an+1-8，从而可得{b2n}，{b2n-1}都是以12为公比的等比数列，由此可求数列{bn}的通项，进一步确定n≥13，n为奇数时，|T2|<|T4|<…<|T12|，|T12|>|T14|>…；n为偶数时，|T1|<|T3|<…<|T13|，|T13|>|T15|>…，由此可得结论。

解答：解：（1）当k=3，a1a2a3=6，则a1+a2+a3=6.

设cn=a3n-2+a3n-1+a3n，由an+3=3+an，得cn+1=cn+9，所以数列{cn}是公差为9的等差数列，

故S36=c1+c2+…+c12=12×6+12×112×9=666.（4分）

（2）若k=2时，a1+a2=a1·a2，又a1

所以a1·a2<2a2，所以a1=1，此时1+a2=a2，矛盾。（6分）

若k=3时，a1+a2+a3=a1·a2·a3，所以a1·a2·a3<3a3，a1·a2<3，

所以a1=1，a2=2，a3=3，满足题意。（8分）

若k≥4时，a1+a2+…+ak=a1·a2·…·ak，所以a1·a2·…·ak

又因为a1·a2·…·ak-1>1×2×…×（k-1）≥2k-2>k，所以k≥4不满足题意。（10分）

所以，a1=1，a2=2，a3=3，且an+3=3+an，

所以a3n-2=a1+3（n-1）=3n-2，a3n-1=a2+3（n-1）=3n-1，a3n=a3+3（n-1）=3n，

故an=n.（12分）

（3）因为bn·bn+1=-21·12an-8，所以bn+1·bn+2=-21·12an+1-8

所以bn+2bn=12，所以{b2n}，{b2n-1}都是以12为公比的等比数列，

所以bn=3·26·12n-12，n>1，n为奇数-14×12n2-1，n>2n为偶数。（14分）

令|bn·bn+1|<1，即-21·12n-8<1，∴12n-8<121，

所以n≥13，n为奇数时，有|b1·b2|>1，|b3·b4|>1，…，|b11·b12|>1，|b13b14|<1，|b15·b16|<1，

从而|T2|<|T4|<…<|T12|，|T12|>|T14|>…，

n为偶数时，有|b2·b3|>1，|b4·b5|>1，…，|b12·b13|>1，|b14·b15|<1，|b16·b17|<1，

从而|T1|<|T3|<…<|T13|，|T13|>|T15|>…，

注意到T12>0，T13>0，且T13=b13·T12=3T12>T12，

所以数列{bn}的前n项积Tn最大时n的值为13。

点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的性质是关键.利用不等关系去唯一确定数列。

四、 总结

解等差数列，等比数列时，首先要认真审题，深刻理解问题题型，理清蕴含在题目中的数学关系，把实际问题抽象为数学中的等差等比数列问题，然后求解。如果遇到数列和函数，一般利用函数的性质，图像研究数列问题，利用数列的范围，公式，求和方法对相关式子化简变形，注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常见解法有助于数列综合问题的解决。解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略。

作者简介：

颜瑞生，江苏省常州市北郊高级中学。