数学活动课怎样上？

叶海波+王会玲

人教版初中《数学》教材章节后的“数学活动”部分充分体现了编者对数学活动经验的重视，但由于教材对“数学活动”提供的情景或问题往往比较简略，表面上看不出具体知识技能的指向，加之受应试教育的影响，导致一些教师对“数学活动”教与学没有足够的重视。因此，数学活动实际教学情况是：要么是一带而过，要么上成复习课，抑或是上成“手工课”。这与新课标中关于数学活动是初中数学四大领域之一“综合与实践”的重要载体的地位是不相符的。近日，在一次数学学科培训活动中，一位乡村中学的青年教师为我们展示了一节生动而丰富的数学活动课《平面镶嵌》（八年级上册），在活动进程中既有学生动手实践的精彩，也有思维碰撞的火花。

课堂实录：

【引入】首先播放地面镶嵌的视频，出示课题，然后要求学生围绕问题自学：1.什么是平面镶嵌？2.平面镶嵌的条件是什么？

学生的回答从“一些不重叠的多边形把平面的一部分完全覆盖”到“严丝合缝，不留空隙”再到“无空隙，不重叠”。

教师都给予肯定的评价，同时出示PPT引导学生观察图形的局部（某个拼接点），发现多边形平面镶嵌条件的数学表述：每个拼接点处内角之和为360°。

点评：数学源于生活且应用于生活，这位教师借助视频和课件展现生活中学生熟悉的大量有关多边形密铺的图片，从直观角度对学生认识什么是多边形平面镶嵌打下烙印。然后提出问题引发思考，让学生经历从生活化的语言表述逐步提炼成数学语言的过程。教师在对多边形平面镶嵌条件的数学表述上给了学生恰当的点拨，让学生体会从具体直观到抽象概括的数学化过程。

【活动1】以小组为单位，尝试用课前准备的边长相同的正三角形、正方形、正五边形、正六边形纸片中的一种分别进行密铺，分组上台展示各种拼接的情况并说明是否是平面镶嵌。

设问：为什么正三角形、正方形、正六边形能平面镶嵌？为什么正五边形不能平面镶嵌？正八边形能否平面镶嵌？正十边形呢？

由于有前一个环节的铺垫，结合动手操作的情况，学生认识到：能否用正多边形镶嵌，就是看若干个正多边形的内角能否拼成周角，转化为数量条件即为：正多边形的一个内角的度数能否整除360°。学生也进一步通过计算发现正八边形、正十边形不能平面镶嵌。

点评：研究生活中的常见数学问题，引发了学生对知识的渴望，唤起了学生自己动手探究的主动性和积极性。在动手实践中有学生看得见、摸得着的实体形象，唤起学生学习的愉悦；在问题串的探究交流中又展现了学习的智力背景，体现出数学知识的实用功能，鼓舞着学生主动求知。在为所有学生提供充分展示学习实践成果机会的前提下，让学生建立学习数学的自信，教师只是以合作者的身份帮助学生在活动探究中加深对知识的理解，获得初步的数学活动经验。此处如果对究竟“有哪几种正多边形能平面镶嵌？”作进一步的探讨，还可以给学生更多的思考空间。

【活动2】还以小组为单位，尝试用课前准备的一些形状、大小相同的三角形纸板和四边形纸板分别进行密铺，分组上台展示各种拼接的情况并说明是否是平面镶嵌。

设问：形状、大小相同的三角形纸板和四边形纸板为什么分别能平面镶嵌？对任意多边形平面镶嵌除了要求拼接点处的内角和为360°以外，还要注意什么？

通过拼图和借鉴前面活动的经验，学生认识到任意三角形和四边形分别能进行平面镶嵌是因为它们内角和的特殊性决定的。而对比某一个拼接点的不同拼法，一方面学生从直观的角度认识到“拼接边要相等”，另一方面加深学生对平面镶嵌概念更深入的理解，即“如果有足够多的多边形（三角形或四边形）可以将整个平面完全覆盖”，强化平面镶嵌要达成“每个拼接点的内角和为360°”。

点评：活动2是在经过活动1积累了一定的活动经验，同时对平面镶嵌有了初步了解的基础上设计的一个形式更为一般、更为复杂的拼接活动。创设更富挑战性和趣味性的活动情境，让学生又投入到积极的学习中，通过展示活动成果既让学生获得成功的体验，也能感受到矛盾和困难的冲击，以达到对所涉及的数学知识更深入的理解和掌握更多的探究学习技能。

【活动3】以小组为单位，尝试用课前准备的边长相同的正三角形和正方形两种纸片进行拼接，能否平面镶嵌？若用正三角形和正五边形纸片呢？若用正三角形和正六边形纸片呢？展示各种拼接的情况并说明是否是平面镶嵌？为什么？

在小组活动交流的基础上结合拼接成的图形，学生认识到：两种正多边形能否平面镶嵌取决于是否有若干个正多边形的内角拼出一个周角。

设问：判断能否用边长相同的正三角形和正八边形平面镶嵌？

由于事先没准备正八边形纸片，不能操作判断。学生自然会类比前面的活动经验，通过计算正三角形和正八边形的内角度数来判断。此时多数学生是选择尝试不同个数正三角形和正八边形的内角求和，经过实验作出判断。在此基础上教师启发学生思考把不确定的正三角形或正八边形的个数符号化，引入方程思想。即假设能平面镶嵌，设一个拼接点处有m个正三角形的角，n个正八边形的角，则60m+135n=360，再讨论二元一次方程的正整数解作出判断。

点评：在活动3中，学生的学习行为从动手实践，到具体数据的算术试验，再到讨论不定方程的特殊解。这种从学生面对的显性、外在的具体操作过渡到用数学解释操作的理由或代替操作，再到用更一般更通性的数学方法去做出判断的活动过程，符合學生的认知规律。

【延伸】课外活动：能任选边长相同的三种不同正多边形进行平面镶嵌吗？四种呢？

学生小组交流谈想法，教师做点评，再播放三种正多边形能（或不能）平面镶嵌的推算和拼摆过程的微课。

点评：在经过丰富的数学活动和数学思考之后，学生站在理性的角度重新面对具体的情境，那就不再首先是动手做，而是先通过数学方法做出判断。经历这样的环节，进一步强化了学生的数学应用意识，也体现了“问题情境——建立模型——解释应用与拓展”这一知识形成应用的过程。对课堂上由于时间关系无法直接探讨完成的知识点用微课进行延伸，学生既兴趣盎然，又易于接受，这样学习效率高，课堂教学效率也高。

总评：

《平面镶嵌》这节数学活动课在教材中是以课题学习的形式呈现的。本节课以问题为主线，以学生的动手操作实验活动为主，以“提出问题——自主探究——归纳分析”的模式展开教学。学生在问题的引领下有目标的自主探究，既培养学生的动手操作能力，经历猜想、实践、归纳的过程，又培养学生认真思考、讨论交流的良好习惯，同时也培养学生的创新能力和实践能力。

数学活动课是对课堂教学的一种补充，不同于数学知识传授课，也不是一般的数学课外活动。它是为了让学生对某一体系的数学知识更深入理解、更牢固掌握、更灵活应用，针对性创设一定的活动情境，在数学思维活动的参与下，进行的学习研究活动。本节活动课主要体现了以下两个方面的特点：一是注重数学活动的内涵。突出了观察与体验、感性与理性。我们时常看到活动课表面很热闹，但活动与思维是脱节的，这样的活动课是低层次的。但在这节活动课中，让学生在做数学活动中，产生一些想法——无论正确与否——加以验证，培养了学生自觉应用数学解释生活现象的意识。二是转换数学活动的角色。我们还看到一些活动课，学生在活动中只是扮演教师的若干只手而已，是被动参与。要做什么、怎么做、会有什么结果，学生一直是被教师牵着走的。而在本节课中，学生是活动的主体、知识的探索者、团队的合作者，教师只是参与者，学生主动参与发现、探究、解决问题，从中获得数学知识，获得解决实际问题的过程体验、情感体验。

数学活动课教学与系统理论知识的教学是不同的，它要求教师花更多的时间和精力去准备，包括确定活动目标、明确活动主题、选择活动场景、预设活动过程、预测活动结果等，每个方面都值得我们去揣摩和研究。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行，数学活动课的预设与生成值得我们去深层探索，需要数学教师在多次的数学活动课教学中积累，经过多次尝试才能获得成功。

（作者单位：叶海波，宜都市教研室；王会玲，宜都市枝城中学）

责任编辑 陈建军endprint