复合函数定义域求法及其解题意义研究

摘要：复合函数主要是指函数间通过运算法则进行联系后所形成的新的复杂函数。理解其定义域求法不仅对于解题具有直接贡献，更能够对于后续图像的理解、其他问题的分析提供一定的帮助。本文系统总结在实际学习过程中所遇到的复合函数定义域求法，并试图分析定义域对其解题的意义，希望能够为后续的学习与研究提供一定的帮助。

关键词：复合函数；定义域；求解；意义

高中阶段的函数学习较为复杂、困难，且对于广大学生而言既是全新数学思维的应用，又是形成后续学习的客观基础。在函数教学体系中，复杂函数、特殊函数及复合函数在考查过程中占据了很大的比例。这也就要求我们在学习的过程中要有所侧重。只有灵活的掌握函数的相关知识，才能够在后续的数学及其他学科的学习过程中形成“先机”。

在众多考题中，关于复合函数的定义域求解问题一直是困扰学生的一大难点，而近年来针对该领域问题的研究也相对薄弱，这不仅使得学生在学习过程中缺乏有效的遵循，还使得我们无法在短时间内形成突破。在严重的影响了学生数学成绩的同时也不可避免的造成后续问题求解的障碍。针对这一情况，笔者结合日常学习与解题中的相关经验进行总结，对该类问题下的具体分类与求解方式进行汇总，希望能够成为后续学习与解题过程中的有效遵循。与此同时，试图探明定义域在后续解题过程中的重要意义，使之能够引起广大教师与学生的重视。

一、 复合函数定义域求法研究

正如上文所说，以大量的习题为基础进行的总结使得我们发现，复合函数定义域问题在考察过程中一般分为四个类别，其类别特征与解题思路如下：

（一） 函数替换类

该类问题是利用函数替换原函数中的未知量，并在给定原函数定义域的基础上对新未知量的定义域进行求解。利用数学语言进行表征则可以表示为：给定f（x）定义域，求解f[g（x）]的定义域。如题目：已知f（x）定义域为（-1，4]，求f（x2+4x）定义域。

该类问题为复合函数定义域的基础性问题。从函数定义与内涵的角度来进行理解则可以轻松列出不等式，进而通过不等式求解的方式获得相关答案。具体的定义内涵层面上，复合函数在原函数的位置替代中相当于未知数“x”，故而其定义域属性应该继承并来源于原函数的定义域。以上题为例，可以得到-1

（二） 函数反推类

该类问题总体上表现为给定复合函数定义域求解简单函数定义域。与上文所讨论的题型呈现出相反的趋势，用数学语言来表达即已知f[g（x）]的定义域求解f（x）的定义域。如题目：已知复合函数f（5-3x）的定义域为[-2，1]，求函数f（x）的定义域。

该类问题与函数替换类相反，其所需要应用的解题思路为定义域定义与内涵。在此过程中我们需要了解，所谓的定义域是全部函数未知数的集合，而复合函数中则强调的是函数的赋值集合作为简单函数的定义域范围。从上文中的具体题目来看，条件中给出的已知定义域[-2，1]，是简单函数g（x）=5-3x的定义域范围。故而该问题转化为求解 g（x）=5-3x的值域。根据计算，其值域范围为[2，11]，故而简单函数f（x）的定义域为[2，11]。在此過程中我们需要注意的是符号带来的极值变化，如果简单函数为二次或以上函数，还应该判断曲线极值的出现位点。

（三） 双复合类

所谓的双复合类函数定义域的求解问题主要是指给定某个复合函数的定义域求解另一个复合函数的定义域问题。用数学语言来予以表达即为：已知f[g（x）]的定义域求解 f[t（x）]的定义域。如题目，已知复合函数f（x+1）的定义域为[-1，3]，求函数f（2-x）的定义域。

该类问题在实际求解的过程中可以看做是函数替换类与函数反推类复合函数定义域求解问题的组合。其运算过程需要引入中间变量H来辅助思考。其思考过程大致如下：首先，以已知函数的定义域为蓝本进行函数反推，即已知复合函数f（x+1）的定义域为[-1，3]，求解函数f（H）的定义域，此过程的计算方法依照反推类来进行；其次，已知函数f（H）的定义域，求解函数f（2-x）的定义域，该过程依据函数替换类来进行。

（四） 运算复合类

所谓的运算复合类函数定义域问题主要是指已知函数的定义域，求解若干函数运算后的综合定义域。利用数学语言来表达则为：已知f（x）的定义域，求解f（x）=f（i1）+f（i2）+…+f（ij）的定义域。其中高中阶段所接触的运算方式一般为加减乘除基础四则运算。如题目，已知f（x）的定义域为[-1，2），求解f（x）=f（x+3）+f（x-1）-f（2x）的定义域。

在实际求解的过程中，该类问题的核心关键是对不同的运算要素函数的定义域进行分别求解，并确定其交集，为最终的复合函数定义域。值得注意的是当运算规则中存在除法或者根号等运算，其定义域还应该剔除掉各自运算规则下的特殊点，如f（x）=0 的位点。

二、 复合函数定义域的解题意义分析

通过上文的分析我们对四种复合函数的求解思想与具体求解过程进行了系统性总结。而复合函数的定义域问题对于后续的函数类问题也具有一定的积极意义，大致如下：

第一，可以辅助判断函数方向。通过定义域的计算能够判断函数在不同取值过程中的函数结果，进而通过结果的判断可以形成函数走向的基本动态。如在一次函数中，其函数图像表现为线性函数，而判断终点值的大小可以确定函数的增减性。

第二，可以辅助判断函数图像。对不同取值范围的研判可以确定函数的连续性，进而在取值区间内形成函数图像的基本确定。该条件的应用有助于后续我们理解复杂函数的相关问题，尤其是在二次以上或周期函数的趋势判断中提供必要的帮助。

第三，可以辅助判断函数根的大致取值。函数的定义域代表了未知数的取值范围，而复合函数的定义域则往往是已知函数的值域。通过此种规则可以将值域问题转化为定义域问题，进而降低解题难度，提高解题正确率。

三、 总结

本文系统总结了四种复合函数定义域的解法与数学思想，并对定义域的解题意义进行探讨，旨在为后续的学习与研究提供重要参考。

参考文献：

[1]吾吉买买提·艾合买提，布哈力且木·阿布都热依木.浅谈复合函数定义域的求法[J].和田师范专科学校学报，2008，（03）：199.

[2]吕骥.关于函数定义域求法的探析报告[J].湖北科技学院学报，2016，（12）：14-16.

作者简介：

刘天好，湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学（简称恩施高中）。