数学思想方法在初中数学课堂教学中的渗透——以“加减消元法解二元一次方程组”课堂教学为例

陈琬琛

（长乐华侨中学，福建 福州 350200）

数学思想方法是“对数学的知识内容和所使用方法的本质认识，是从某些具体的数学内容（如概念、命题、规律）和数学认识过程中提炼出来的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想”。［1］

初中数学中蕴含的数学思想方法许多，其中最基本的数学思想方法是转化（化归）思想、数形结合思想，分类讨论思想、函数和方程思想、整体思想等，抓住这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。下面笔者以义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》（七年级下）“消元——解二元一次方程组（加减法第一课时）”为例，就如何在课堂教学中进行数学思想方法的渗透谈谈自己的一些教学心得。

一、解析出教材内容蕴含的数学思想方法

数学思想方法具有隐喻性的特点，它隐于数学知识内部，要经过反复体验才能领悟和运用。数学思想方法的教学，首先需要从对教学内容的分析入手，析出其中蕴含的数学思想方法。

例如：对“消元——解二元一次方程组”的教学内容解析。

首先，明确解二元一次方程组最终是使方程组变形为x=a，y=b的形式，即在保持各方程左右两边相等关系的前提之下，使“未知”转化为“已知”；之前学生已学过“一元一次方程”，现在对“如何解由含有多个未知数的多个方程组成的方程组”的新问题，自然就联想到是否可以转化为“解含一个未知数的一元一次方程”的旧知识来解决，这就是“把未知问题转化为已知问题，把生疏问题转化为熟悉问题，把复杂问题转化为简单问题，从而把问题由难化易地解决的化归思想方法”；接下来，要达到化“二元”为“一元”，就要先消去一个未知数，即逐步减少未知数的个数，使方程组化归为一元方程，这就是“将未知数的个数由多化少，逐一解决的消元思想”；再接下来就是如何“消元”了，这就产生了“代入法”和“加减法”，它们只是具体消元的过程有所不同；最后，为了达到“代入”和“加减”，还需要“恒等变换”的方法。学生在学习“消元——解二元一次方程组（加减法第一课时）”之前已学过加减消元法解二元一次方程组，对消元思想已有初浅认识。

二、精心设计教学过程，彰显内隐的数学思想方法

（一）在导入环节渗透数学思想方法

课前导入是一节完整的课堂教学不可缺少的环节，它犹如电影的“序幕”和乐曲的“引子”，对于接下来的教学工作起着重要的引导和铺垫的作用。奥苏伯尔曾提出：“在呈现具体内容之前，先呈现一些密切相关的、包容范围广但又非常容易使人理解和记忆的引导性材料——先行组织者。先行组织者能激活认知结构中已具备的相关知识，使学生认识到它们之间的联系；先行组织者为将要学习的材料提供了一个框架或线索，起到了导游图的作用，能使学生对学习进程心中有数，帮助学生建立有意义学习的心向，有助于学生掌握研究问题的方法。”

例如：“消元——解二元一次方程组（加减法第一课时）”课前导入实录。

师：前两节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组。用代入消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？

生：消元，化“二元”为“一元”，从而化“未知”为“已知”。

师：很好。这里体现了数学中很重要的思想方法——“消元”“化归”思想。下面请大家做一道题。

教师没有明确用代入消元法解这个方程组，请学生自主探究，完成解答过程，然后通过视频展示学生的不同解法过程。

解法二：把3y看成是一个整体，由（2）式转化为3y=5x-8的形式，然后直接代入（1）消去3y，用的是整体代入消元法。

师：上述解法过程虽有不同之处。但指导思想都是一样的——消元，化“二元”为“一元”。比较一下哪一种更简便?

学生通过比较达成共识：解法二整体代入消元法相对更简便。

师：有没有更简捷的解法呢？

评注：以上教学使学生进一步巩固用代入法解二元一次方程组，体会用代入法解二元一次方程组的基本思路——消元（消元思想），化“二元”为“一元”（化归思想），这里还渗透着整体思想。学生在体会“代入法”存在不足的同时，产生探究新方法的欲望。

（二）在新知探究活动中经历数学思想方法的形成过程

例如：“消元——解二元一次方程组（加减法第一课时）”导入环节中的问题1，教师可通过问题串引导学生共同分析：

1.观察上述方程组，y的系数有什么特点？——互为相反数。

2.除了代入消元法，你还有没有别的方法可以消去y呢？

方程的两边分别对应相加，就可消去y，得到一个一元一次方程组。（教师板书：（1）+（2）得（2x+3y）+（5x-3y）=-1+8，即 7x=7）

3.通过这样的变形，方程变了，得到的新方程会成立吗？依据什么？——成立。依据等式的性质。

评注：通过问题串引导学生认识加减法的步骤及依据，明确加减法的目的还是“消元”，体会化“二元”为“一元”，从而化“未知”为“已知”的化归思想。

学生练习并点评后，教师将问题1的第2个方程中 3y 项前的“-”改为“+”得到：

随着新课程改革的到来，国内的初中英语教育开始进行全面创新和拓展，不仅形成了全新的教学观念，而且开始对学生的主体性有了深层次的重视，但是在实际教学中，依旧存在相当大的问题，有待在新时期采取一些创新有效的措施加以综合应对。本文从实践教学中的创新教学实践出发，分析培养初中英语课堂学生创造性思维的意义，提出培养学生逻辑思维能力的对策，最终对创新教学方式得以改良，使其在初中英语教学工作中发挥出最大的功效。

师：你能仿照刚才的解法尝试解方程组吗？

有了前面的探究作铺垫，学生很容易想到解法。最后教师引导学生共同总结出“加减消元法”的概念。

评注：“通过具有适当变化性的问题情境，把那些在解题思想上具有相似或相关的内容，用变式的形式串联起来，在变化中求不变，在变式中领悟数学思想方法的真谛——变式策略”［2］

（三）在知识应用中渗透数学思想方法

数学思想方法具有过程性的特点，它不能与知识、技能同步掌握，需要经历一个较长的过程，不能死记硬背，不能机械模仿，不是两道例题或几堂课就能掌握的。“数学思想方法蕴含于知识教学中，重在悟，悟就需要一个过程，一个循序渐进，逐步逼近思想本质的过程。”［2］学生要逐步体会、理解和掌握，需要经历“实践——认识——再实践——再认识”的过程。因此，在二元一次方程组的解法教学中，设置体现数学思想的例题或练习是十分必要的。

例如：“消元——解二元一次方程组（加减法第一课时）”知识应用环节

教师将问题2的第2个方程中3y项的系数“3”改为“6”得到：

问题3：加减法解二元一次方程组

师：这时还能用加减法消去一个未知数，转化成一元一次方程来解吗？（教师继续渗透消元思想、化归思想）

有了前面的探究作准备，学生能想到将此问题转化成上一问题形式去解决，学生很快想到解法：y的系数成整数倍数关系，（1）×2-（2）或（2）-（1）×2 可消去y。

师：本题若想用加减法消去x，方程又该如何变形呢？

有了前一种情况的铺垫，有的同学马上想到：解法一：（2）×0.4-（1）可消去 x；

教师进一步追问：能不能不出现小数或分数又能使X的系数绝对值相等呢？学生很快又提出：解法三：（1）×5-（2）×2 也可消去 x。

学生解题后教师引导学生解后反思：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一个未知数的系数绝对值相等，通过“消元”后“转化”为问题1或2类型的方程组求解（教师继续用“变式策略”渗透“转化”与“化归”的思想方法）。

（四）及时总结反思使数学思想方法纳入认知系统

数学思想方法的渗透少不了总结反思这一环节，经过一系列观察、分析、比较、判断、修正等思维活动后提炼出来的数学思想方法对学生来说才是易于体会、易于接受的。在教学过程中需要结合具体知识内容，在总结反思时也同样需要结合具体知识内容。例如，“消元——解二元一次方程组（加减法第一课时）该节课笔者在总结时准备了下面的框图。

这一框图展示了加减消元法解二元一次方程组的具体步骤，可以结合框图回顾解二元一次方程组的过程，渗透算法中程序化的思想，也可以结合框图总结消元思想、化归思想。利用框图总结反思，学生能把知识、技能、思想方法融为一体，使得思想方法有了载体，知识技能有了灵魂。

在“消元——解二元一次方程组（加减法第一课时）”的课堂教学中，笔者从“课前导入”中的代入法解方程组到“探索新知”中的加减法解方程组，再到最后的“总结反思”，由始至终渗透着“消元”“化归”的数学思想方法，它们在解方程中具有指导作用，学生领会了它们，就能从整体上认识问题的本质，对于代入法、加减法等具体步骤就不会仅是死记硬背，而能够顺势自然地理解，并能够灵活地运用，进而最大程度地培养学生思维的发散性、灵活性，提高思维的深刻性。

“数学思想和方法是数学科学的重要组成成分之一，是数学科学的灵魂，在促进学生的发展中具有决定性作用。”［2］“授人以鱼，不如授之以渔”。教育工作者要本着以人为本，以学生的全面发展为目标，努力钻研教材，不断加强数学思想方法在教学中的渗透，以有助于加深学生的理解和感受，使数学思想方法带给学生更深远的影响，并从中获益终身。

［1］理海东.重视数学思想方法的教学——“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第六次课题会议成果综述［J］.中国数学教育，2011（1/2）.

［2］章建跃，朱文芳.中学数学教学心理学［M］.北京：北京教育出版社，2001.