高中数学概率统计的教学现状分析及教学建议

郑达艺

（福建教育学院数学研修部，福建 福州 350025）

高中数学概率统计部分的学习，常听到学生抱怨，学习之后，感觉对知识印象不深刻，容易忘记，解题时不知如何下手，没有解题思路。同时，也时常听到教师们抱怨概率统计不好教，不知怎么教好。究其原因：一是在传统的数学教学中，我们经常强调演绎思维，在一定的条件下必然产生某种确定的结果，因此这种确定性思维在学生的头脑中根深蒂固，概率论研究的对象是随机现象，跟代数、几何所研究的确定现象有很大不同，思维模式的改变让我们的惯性思维难于适应；二是教材编写相对简单，对于定义只给简单例子，不做进一步的分析阐述；对于性质只给简单例子说明或不给，不做逻辑推理论证；教材所给的知识没有形成系统、过于碎片化；三是在高考指挥棒下，教师的教学策略问题，只重视解题教学，轻视系统化的知识教学；四是个别教师觉得概率统计不好教、不好上的原因也可能在于他们没有深刻理解概率统计，没有抓住概率统计的本质，因此避重就轻，以解题教学代替系统知识教学。随着数学核心素养的提出，新的高中数学课程结构的修订，统计与概率作为高中数学的一大模块，将比以前在高中数学中的地位提高，高考中的试题比重也必定提高，因此必须引起我们教学上的重视。

一、加强概率统计的数学思想方法教学，更好理解概率统计

上面讲到学生对解概率统计的题经常不知如何下手，没有解题思路，究其原因是对概率统计的数学思想方法没掌握，因此不知怎么分析，往哪个方向思考；那么概率的基本数学思想方法是什么呢？在这里笔者讲一讲如何分赌金问题，通过这问题的解决，能够很好体会出概率论的数学思想方法。

例1甲、乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一分；若反面朝上，乙得一分。先积3分者赢得全部赌注。假定在甲得得2分，乙得1分时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎么分配赌注才算公平合理。

当时很多人的想法是按2:1分配是合理的，但数学家帕斯卡和费马经过通信讨论后，分别提出他们的解决办法。帕斯卡提出：若再掷一次，甲胜，甲获全部赌注；乙胜，甲、乙平分赌注。两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下：甲应得赌金的，乙得赌金的。

费马：结束赌局至多还要2局，结果为4种等可能情况：{甲甲 甲乙 乙甲 乙乙}。

前3种情况，甲获全部赌金，仅第4种情况，乙获全部赌金。所以甲应得赌金的，乙得赌金的。

通过上例，我们可以看出提出正确的解题思路是解决上述问题的关键，同时我们也得到概率论的解题要旨在于对未发生事件的估计和评价，并根据事件的概率来解决问题。如果教师把该例给学生探讨并帮助学生们解决该问题，从中总结概率论的数学思想方法给学生，将有助于学生深刻理解概率的思想方法，为以后学习打下良好基础。

在统计学部分，数学思想方法的教学也是相当重要的，例如列联表独立性分析案例的教学，该节主要通过肺癌与吸烟的一组调查数据：

然后分析患肺癌与是否吸烟的关系。该节的深层次的教学目标是通过肺癌与吸烟列联表独立性分析案例学习，学会同一类问题的解决方法。对于这样的教学目标，独立性检验的思想方法的教学是教师教学的关键。通过数学思想的教学，推导出独立性检验的解题步骤：第一步提出原假设。第二步在假定假设为真的前提下，构造出小概率事件。第三步根据样本，计算小概率事件是否发生，根据小概率事件原理，小概率事件发生，拒绝原假设；不发生，没有理由拒绝原假设，只能接受原假设。

二、整体把握概率统计,把看似零碎知识系统化、条理化，形成结构

知识的系统化，可使学生对知识的掌握达到了一个更高的境界，也能从整体、全局或联系中去掌握具体的概念和原理，可使所学的概念和原理回到知识系统中应有的位置上去。如果所学的知识仍然是支离破碎的、孤立或杂乱无章的，这种无序的知识结构，将给我们对知识的记忆及对知识的应用带来很大问题，而现在高中概率统计的教材所给的知识没有形成系统、过于碎片化，导致学生学习之后，感觉对知识印象不深刻，容易忘记。因此，教师应该要能够整体把握概率统计,把看似零碎知识系统化、条理化，形成结构。下面举些例子说明怎么把概率统计系统化、条例化、形成结构。

例如，随机事件与随机变量什么关系，对于这个问题，有部分教师可能不是很清楚，学生们也不懂得，其实随机变量是随机事件数量化的结果，随机变量是随机事件的化身。从数学严格的定义：随机变量X=X（ω）是定义在样本空间Ω上的实值函数，即一个样本点对应一个数值，实值函数X=X（ω）就称为随机变量。所以我们对随机变量的研究，实质是对随机事件变换一种形式进行研究。明白了上面的关系，我们就不会把随机事件与随机变量研究割裂开来，而是把它们看成一个系统。如果知道了随机事件与随机变量的关系，那大家会发现对于离散型随机变量的二项分布和贝努利概型其实是相同的概型，连续随机变量的均匀分布与几何分布也是相同的概型。

对于随机事件的独立性的教学，课文先给出独立性定义：当事件的全集Ω1和Ω2独立，对于AΩ1和BΩ2，有 P（AB）=P（A）P（B），这时称事件 A 和 B 独立。再应用定义进行计算解题，这样的教学方式，会让学生对什么是相互独立一头雾水。其实独立性可以从条件概率推导出来：对于条件概率事件，B发生的条件下事件A发生的概率记为P（A|B），随机事件相互独立的本质是：当事件B发生与否不影响事件A的发生 （或事件A发生与否不影响事件B的发生），即P（A|B）=P（A），那我们就称事件 B 与事件 A 相互独立，进一步我们再根据乘法公式 P（AB）=P（B）P（A|B）推得 P（AB）=P（A）P（B）。这样教师既可以让学生明白事件相互独立的本质，又可以让学生知道为什么P（AB）=P（A）P（B）是事件A与事件B相互独立性的条件。

三、加强应用案例，激发学生对学习概率统计的学习兴趣

概率统计是在解决各种实际问题的实践中发展起来的一门应用性非常强的学科，学生对它的喜爱也许就在于它的应用性。所以教师应该利用丰富的实际背景，加强应用案例的教学，激发学生对学习概率统计的学习兴趣，而应用案例的教学同时，也让学生从中学会数学建模，懂得用概率统计的数学思想方法分析问题，而数学建模是新修订课标重点数学能力。

［1］李战江.浅谈0—1分布在解概率论与数理统计题中的应用［J］.内蒙古农业大学学报（自然科学版），2005（3）.

［2］张慧.随机变量分解及其应用［J］.西北轻工业学院学报，1997（3）.

［3］张德然，茆诗松.高中概率统计教学中关于随机性数学思维的培养［J］.课程·教材·教法，2003（9）.