广义半连续向量值函数与应用

廖怡娜，金朝永

(广东工业大学 应用数学学院，广东 广州 510520)

1 引言及预备知识

众所周知，函数的凸性和连续性在非线性优化中扮演着重要的角色. 比如：分离定理，极小极大定理和鞍点定理都与函数的凸性和连续性紧密相关. 在过去几十年里，向量优化也得到快速的发展(见，[1-6]).

本文目的是借助Chen[7][8]给出的广义半连续函数的概念和Finet[4]提出的序半连续向量值函数定义，利用半连续性得到向量值函数的Pareto 优化解和对广义鞍点定理进行推广，最后讨论了一类向量平衡问题的解的存在性问题.

这里假设N是正的自然数，E是实序Banach空间，C⊂E是闭凸尖锥且intC≠Ø，引入E上的序关系：y≤x⟺x-y∈C，∀x,y∈E. 若y

为叙述方便，我们给出如下定义：

定义1.1[7-8]是实Banach空间.

(3)若f在X上上方下半连续是指在X中的每一点都是上方下半连续的；若f在X上下方上半连续是指在X中的每一点都是下方上半连续的.

注1.1 (a) 显然上方下半连续和下方上半连续是半连续函数的推广.反之，不成立.

(b) 在文献[10]中上方下半连续和下方上半连续也被定义为单调半连续.

显然f在0处是上方下半连续，但不是下半连续.

下面我们介绍向量值映射上的半连续定义.

定义1.2[1，4，8，9]设X是实Banach空间，假设f∶X→E是一个向量值映射.

(1) 若f在x0∈X是C-下半连续，是指对f(x0)的任意邻域V，都存在x0的一个邻域U，使得f(x)⊂V+C，∀x∈U.

(2) 若f在x0∈X是C-拟下半连续，是指对任意的b∈E，{x∈X∶f(x)≤b}是闭集.

(3) 若f在x0∈X是序下半连续，是指对每一个序列{xn}⊂E使得xn→x0，就存在序列{εn}⊂E收敛于0且f(xn)+εn≥f(xn+1)+εn+1，∀n∈N，则存在序列{gn}⊂E收敛于0使得f(x0)≤f(xn)+gn，∀n∈N.

(4) 称f∶X→E在x0∈E是C-上方下半连续，如果对任意的序列{xn}，xn→x0，f(xn+1)≤f(xn),∀n∈N使得f(x0)≤f(xn).

注1.2 (a)f是C-上半连续是指-f是C-下半连续，f是C-拟上半连续是指-f是C-拟下半连续，f是序上半连续是指-f是序下半连续，f是C-下方上半连续是指-f是C-上方下半连续.

(b) 若E=R，很容易得到(1)(2)(3)是等价的，但对于无穷维空间就不成立了(见，[4]). 但是有(1)⟹(2)⟹(4),(1)⟹(3)，由于假设intC≠Ø，从而(2)⟹(3).

(c) 现在我们证明(3)⟹(4). 事实上，任取{xn}⊂X使得xn→x0且f(xn)≥f(xn+1)，由于f是序下半连续，故存在序列{gn}收敛于0使得

f(x0)≤f(xn)+gn.

又因为对∀n，l∈N，f(xn+l)∈f(xn)-C,那么有

f(x0)∈f(xn+l)+gn+l-C⊂f(xn)-C+gn+l-C=f(xn)+gn+l-C.

因为C是闭的，所以f(x0)≤f(xn),∀n∈N.

所以(3)⟹(4).

(d) 从注(c)可知C-上方下半连续比序下半连续更弱. 那么结合注(b)(c)可得

(1)⟹(2)⟹(3)⟹(4)

定理1.1设X是实Banach空间，若β∶X→(0,+∞)是上方下半连续，对每个v∈C，则F(x)=β(x)v是C-上方下半连续．

证明：任取{xn}⊂E使得xn→x0，F(xn)≥F(xn+1)，可推出β(xn)≥β(xn+1).

因为β(x)是上方下半连续，故β(x0)≤β(xn).

因此对每个v∈C，则β(x0)v≤β(xn)v,∀n∈N.

注1.3 若β是下半连续函数，则β(x)v是C-下半连续的. 这相应的结果是[9]中定理2.1的结果. 更一般地，β(x)v是序下半连续.

定义1.3[2,3]设A⊂E非空子集.

(1)称x∈A极小点，如果A∩(a-C)={a}；记minA是A中所有极小点的集合.

(2)称x∈A极大点，如果A∩(a+C)={a}；记maxA是A中所有极大点的集合.

(3)称x∈A弱极小点，如果A∩(a-intC)=Ø；记minwA是A中所有弱极小点的集合.

(4)称x∈A弱极大点，如果A∩(a+intC)=Ø；记maxwA是A中所有弱极大点的集合.

显然，minA⊂minwA，maxA⊂maxwA.

定义1.4[3,9]设X和Y是实Banach空间，假设f∶X×Y→E是一个向量值映射.

(1)称(x0,y0)∈X×Y是f的C-鞍点，是指

f(x0,y0)∈maxf(x0,Y)∩minf(X,y0).

(2)称(x0,y0)∈X×Y是f的弱C-鞍点，是指

f(x0,y0)∈maxwf(x0,Y)∩minwf(X,y0).

注1.4 显然，f的C-鞍点都是弱C-鞍点.

定义1.5[2,3]设X0⊂X是非空凸子集，f∶X0→V是一个向量值映射.

(1)称f在X0是C-凸，是指对任意x1,x2∈X0,∀t∈[0,1]有

f

tx1+(1-t)x2

≤tf(x1)+(1-t)f(x2).

(2)称f在X0是真C-拟凸，是指对任意x1,x2∈X0,∀t∈[0,1]有

f

tx1+(1-t)x2

≤f(x1)或f

tx1+(1-t)x2

≤f(x2)

至少有一个成立.

注1.5 若-f在X0是C-凸，则称f是C-凹.；若-f在X0是真C-拟凸，则称f是真C-拟凹.

定理1.2设X是紧的实Banach空间，E是可分实序Banach空间，若f∶X→E是上方下半连续，则minf(X)≠Ø.

证明：f(X)取中的所有全序子集

f(xα)∶α∈I

，I是指标集. 现在只需要证明

f(xα)∶α∈I

有下界.

因为E是可分，所以存在{f(xα)∶α∈I}的稠密子集{f(xn)∶n≥1}，不妨假设f(x1)≥f(x2)≥…，又因为xn∈X和X是紧的，故{xn}有收敛子列，不妨设其为{xn}且xn→x0.

因f是上方下半连续，故有f(x0)≤f(xn)，∀n≥1.

接下来要证f(x0)≤f(xα)，∀α∈I. 对任意f(xα)，由于E的可分性，存在子集{f(xn)}

f(xn)→f(xα).

因f(x0)≤f(xni)和C是闭集，令i→+∞，故f(x0)≤f(xα),∀α∈I.

即{f(xα)∶α∈I}有下界.

由Zorn引理，可得minf(X)≠Ø.

注1.6 (a) 定理1.2结论得出广义半连续存在Pareto优化问题的解，进一步还可以得出minwf(X)≠Ø.

(b) 若命题1.2中的f是C-下方上半连续，则maxf(X)≠Ø.

(c) 若E=R，则得出广义Weierstrass 定理.这与文献[7]命题1.7结论相一致.

(d) 若定理1.2的条件不变，f是真C-拟凸，则minf(X)是单值的.

事实上，若有x1,x2∈X使得f(x1)，f(x2)∈minf(X),因f是真C-拟凸，令x(t)=tx1+(1-t)x2，t∈[0,1],则有

[0,1]={t∶f(x(t))≤f(x1)}∪{t∶f(x(t))≤f(x2)}，

现在先证{t∶f(x(t))≤f(x1)}是闭集. 任取{tn}⊂{t∶f(x(t))≤f(x1)}使得tn→t0.

故有f(x(tn))≤f(x1)，从而f(x(tn))=f(x1).

因f是上方下半连续，故有

fx(t0)≤fx(tn).

即是f(x(t0))≤f(x1)，故t0∈{t∶f(x(t))≤f(x1)}.

同理可得{t∶f(x(t))≤f(x2)}是闭集.

引理1.1[9]设X是实Banach空间，假设f,g∶X→E是两个向量值映射，f是连续的和g是序下半连续. 则f+g是序下半连续.

注1.7 (a)若引理1.1条件不变，由注1.2(c)可以知道f+g是C-上方下半连续.

(b) 在文献[9]中，若f,g是C-下半连续，则f+g也是C-下半连续.

2 主要结果

这一节，我们给出广义的半连续向量值函数的鞍点定理.

定理2.1设X和Y是紧的实Banach空间，E是可分实序Banach空间，假设f∶X×Y→E是一个向量值映射，若f(x,y)=u(x)+v(y)，其中u是上方下半连续，v是下方上半连续. 则f至少有一个弱C-鞍点.

证明：由假设条件和定理1.2，可得

minwu(X)≠Ø，maxwv(Y)≠Ø.

所以，存在x0∈X,y0∈Y使得

u(x0)∈minwu(X)和v(x0)∈maxwv(Y)，

因此，有

f(x0,y0)=u(x0)+v(y0)∈u(x0)+maxwv(Y)∩minwu(x)+v(y0)=maxwu(x0)+v(Y)∩minwu(X)+v(y0)=maxwf(x0,Y)∩minwf(X,y0).

这就证明了(x0,y0)是的一个弱C-鞍点.

注2.1 若定理2.1条件中E=R，则f(x0,y0)=minwf(x0,Y)=maxwf(X,y0).

定理2.2设X和Y是紧的实Banach空间，E是可分实序Banach空间，假设f∶X×Y→E是一个向量值映射，若f(x,y)=u(x)+β(x)v(y)，其中u是连续，v是下方上半连续，β∶X→(0,+∞)是连续，则f至少有一个弱C-鞍点.

证明：由假设条件，可以找到一个y0∈Y使得v(y0)∈maxwv(Y). 由于u,β的连续性，从而x├→u(x)+β(x)v(y0)是连续. 因和是紧的实Banach空间，则存在使得

故f(x0,y0)∈minwf(X,y0).

另一方面，因β(x)>0，∀x∈X,我们有

β(x0)maxwv(Y)∈maxwβ(x0)v(Y)，故f(x0,y0)∈maxwf(x0,Y)

所以(x0,y0)是的一个弱C-鞍点.

注2.2 显然定理2.2的结论是[9]中定理3.1的推广.

定理2.3设X和Y是紧的实Banach空间，E是可分实序Banach空间，假设f∶X×Y→E是一个向量值映射，若f(x,y)=u(x)+β(x)v(y)，其中u是连续，v是序上半连续，β∶X→(0,+∞)是下半连续且C∩maxwv(Y)≠Ø，则f至少有一个弱C-鞍点.

证明：由假设v是序上半连续，从而v是C-下方上半连续，所以maxwv(Y)≠Ø. 由假设取一个y0∈Y使得v(y0)∈C∩maxwv(Y). 因u的连续性和β的下半连续，由引理1.1可以得出x├→u(x)+β(x)v(y0)是上方下半连续. 因X，Y是紧的实Banach空间和E是可分的，则存在x0∈X使得

从而f(x0,y0)∈minwf(X,y0).

接下来，按照定理2.2证明过程，可以得出f(x0,y0)∈maxwf(x0,Y). 证明完毕

注2.3 若定理2.3中的是C-下半连续，v是C-下方上半连续，其它条件不变，则结论依然成立.

下面证明一类广义向量值映射存在向量值平衡问题的解

定理2.4设X是紧的实Banach空间，E是可分实序Banach空间，假设f∶X×Y→E是一个向量值映射，其中f(x,y)=u(x)-u(y)∈X，若u是上方下半连续，则存在y0∈X使得

f(x,y0)∉-intC.

证明：由定理1.2可以知道，存在y0∈X使得

u(y0)∈minwu(X)，

那么对任意x∈X，都有f(x,y0)=u(x)-u(y0)∉-intC，∀x∈X.

3 结束语

本文主要利用广义的半连续函数得出 Pareto问题优化解和获得鞍点定理，同时也推广了[7][9]的一些结果.

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[3] Tanaka T. Generalized quasiconvecities, cone saddle points, and minimax theorem for vector-valued functions[J]. J Optim Theory Appl, 1994, 81(2): 355-377.

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[5] Bednarczuk E M,Zagrodny D. Vector variational principle[J]. Arch Math, 2009, 93: 577-586.

[6] Banachi M, Kassay G, Pini R. Ekeland’s principle for vector equilibrium problems[J]. Nonlinear Anal, 2007, 66: 1454-1464.

[7] CHEN Y Q, CHO Y J, YANG L. Note on the results with lower semi-continuity[J]. Bull. Korean Math. Soc, 2002, 39(4): 535-541.

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