变基线约束的GNSS单频单历元姿态测量新算法

赵修斌，吴洪涛，庞春雷，仝海波，权 源

（空军工程大学 信息与导航学院，西安 710077）

利用载波相位作为观测值进行高精度姿态测量，其关键是在动态条件下快速、高效地固定整周模糊度。单频单历元姿态测量由于所具有实时性高、低成本、不受整周跳变影响的优势，已成为当前工程应用的研究热点。但由于单频单历元观测方程的相关性太强，解算模型的强度太弱，其整周模糊度固定难度较大。对此许多学者做了大量研究，如岭估计法[1]，基于改进型UDVT分解的正则化方法[2]，基于精确随机模型估计的LS-VCE算法[3]，基线约束的LAMBDA算法[4-9]等。这些方法大多在传统模糊度固定方法的基础上，通过改善观测方程的病态性，建立精确随机模型，添加基线约束先验条件等方式增强单历元解算模型的强度，但算法相对复杂。

文献[10]提出的基于值域的姿态测量算法，在基线长度约束的条件下，将对模糊度的搜索转化为对俯仰角、方位角的搜索，算法简单，效率高。文献[11]进一步提出的改进算法充分利用模糊度与基线向量之间的相关性，采用模糊度反约束值域搜索算法，进一步提高了搜索效率。但文献[10]和文献[11]都没有考虑到在航空工程实际应用中基线长度的小动态变化的影响。针对此问题，本文首先对模糊度反约束值域搜索算法进行了分析，利用基线与模糊度之间的关系，采取三维搜索的方法确定模糊度搜索空间，然后基于最小二乘原理，推导了模糊度残余最小的无参化目标函数。该目标函数可以不依赖于浮点解、基线长度等辅助参量，实现模糊度的单频单历元固定。

1 模糊度反约束值域搜索算法及分析

1.1 算法模型

双差观测方程如式(1)所示：

模糊度反约束值域搜索算法以式(3)为基础，在基线长度已知的情况下，选取2个模糊度范围最强的双差观测方程，对模糊度约束范围遍历组合，反解算出待搜索的基线向量（由于基线长度已知只需计算基线的俯仰角、方位角），再将待搜索基线向量代入所有双差观测方程中，解算出整周模糊度向量浮点解，经取整得到模糊度搜索域。

将搜索域内的模糊度反代双差观测方程求解基线长度，在基线残差取得最小值时，即式(4)成立时，固定整周模糊度。

1.2 算法分析

基于模糊度反约束值域搜索的算法，搜索效率高，算法简单，但没有考虑到实际航空工程应用中受温度、气压、受力等造成的载体变形，基线实际处于小动态变化之中。主天线与从天线的之间的基线长度真值与先验值存在一定偏差。

利用模糊度反约束值域搜索的算法，在确定模糊度范围后，待搜索基线向量是包含基线长度、俯仰角、方位角的三维空间，需3个的双差观测方程进行反解算。取、、号卫星与号基准卫星确定的双差观测方程进行反解算，如式(5)所示：

考虑到观测误差影响，式(5)可以改写为

将bˆur代入双差观测方程(8)：

其中，

是双差载波相位真值所决定的模糊度整数解真值，表示误差。由式(12)可知，双差观测方程的观测误差被放大为。当大于1时，通过取整将不能包含在模糊度搜索空间，可见此方法确定的模糊度的成功率受观测误差的影响。

而基于载波相位观测值的相对定位误差在毫米级，在基线长度出现动态变化时，仍用式(4)作为目标函数，固定的模糊度不一定是最优解。

2 新算法

2.1 三维搜索模型的建立

为了提高搜索效率，同时确保每一个可能的模糊度不被漏搜，合理确定搜索步长成为关键。

2.2 搜索步长的确定

将式(23)代入式(22)整理可得：

若以 10°作为可视角，且一般情况下卫星仰角最大应超过60°，由式(25)得：

代入式(24)，即：

当基线长度约为10 m时，采用北斗卫星导航系统（BDS）中 B1频段进行解算时，俯仰角、方位角、基线长度的搜索步长分别为=1°，=0.7°，=0.05 m。设基线长度偏差±10 cm，基线俯仰角偏差±5°，方位角偏差±5°，则采用直接三维搜索时，仅需4×10×14=560次搜索就能够确定搜索域。

2.3 基于模糊度残余最小的无参化目标函数

将双差观测方程改写成：

最小二乘原理的原理如式(30)所示：

其中，

将式(33)代入式(31)中整理得：

其中，E为单位矩阵。

由以上的推导过程可知，式(34)与式(30)是等价的，可以作为目标函数固定模糊度。式(34)不含其他辅助参量，能够克服基线长度变化影响。

在式(33)反代入式(31)解算的过程中，其实质是利用模糊度整数解求解基线向量后，用式(35)基线向量反推模糊度浮点解，而后比较浮点解相对整数解的残余。

因此式(34)也可以称为基于模糊度残余最小化的无参化目标函数。

图1 新算法流程图Fig.1 Flow chart of the new algorithm

代入式(34)得：

因此，当式(34)作为目标函数时，需要至少 4个双差观测方程。

新算法建立了新的三维搜索模型，利用基于模糊残余最小的无参化目标函数固定模糊度，不受基线小动态变化的影响。算法流程如图1所示。

3 试验结果及分析

为验证算法效果，进行了静态姿态测量和动态姿态测量验证实验。

3.1 静态实验条件即结果分析

静态实验中，将 2 个型号为GPS-703-GGG的卫星天线分别固定在基线两端，基线长度为 11.256 m，俯仰角和方位角分别为 0.13°和 17.62°。利用 2个NovAtel OEM 628 板卡对BDS系统B1频点数据进行采集，实验地点为学院科研楼顶，采样频率为1 Hz。实验中设基线长度搜索范围为基线长度真值±10 cm，以模拟实际中基线长度的动态变化。设方位角偏差为±5°，俯仰角偏差为±5°，模拟由INS提供的基线俯仰角和方位角的误差范围。

为了验证本算法的正确性，分别用LAMBDA算法、本文新算法对前800个无周跳实验数据进行解算，计算出的整周模糊度值一致，可以看出本文新算法的正确性。

表1 整周模糊度解算结果Tab.1 Results of integer ambiguity

当采用模糊度反约束值域搜索方法对第789个历元确定搜索域时，通过式(3)约束的模糊度范围如表2所示，其中N3、N4、N5的约束最强。选取正确的模糊度组合N3=-2、N4=0、N5=-5将其反代入式(7)解算出的基线向量估计值。将代入式(9)解得模糊度浮点解，其结果如表2所示，其中由于观测误差被放大，=13.196相对真值偏差 1.196，通过取整得不出正确的模糊度N6，此时通过此方法确定的模糊度搜索空间将不能包含正确的模糊度。而采用直接三维搜索方法时，由于合理选择了搜索步长，确保了约束范围内的模糊度不会被漏搜。

表2 模糊反约束值域搜索方法对第789个历元确定搜索域的结果Tab.2 Results of zone search method based on ambiguity bounding result zone

通过对5 000个历元的静态实验数据解算表明，采用模糊度反约束值域搜索方法确定模糊度搜索域的成功率为 75.2%，而采用直接三维搜索法正确确定模糊度搜索域的成功率为100%。

通过直接三维搜索正确确定模糊度搜索域之后，分别利用基于基线残差最小化的目标函数和基于模糊度残余最小的无参化目标函数进行模糊度的单历元固定。在基线长度小动态变化0 mm、1 mm、3 mm、5 mm时，对两种目标函数单历元固定的5 000个历元的静态实验数据的整周模糊度成功率进行了分析，如表3所示。

表3 两种模糊度固定方法在基线动态变化情况下正确固定模糊度的成功率Tab.3 Successful rates of the two ambiguity fixing methods

分析结果表明，当基线长度出现小动态变化时，基于基线残差最小的方法固定正确模糊度降低，基于模糊度残余最小的无参化目标函数不受影响。

利用本文新算法解算5 000个历元数据，利用直接姿态法[12]对俯仰角、方位角进行估计，并将解算得到的基线长度和姿态角与真值对比，得到的误差曲线如图2所示，均方根误差（RMSE）如表4所示。根据实验结果，解算出的姿态信息与先验知识相符，可知5 000个历元的静态数据整周模糊度都得到了正确的固定。

图2 静态实验测量结果Fig.2 Attitude results of static experiment

表4 基线长度、俯仰角和方位角的RMSETab.4 RMSE of baseline length, pitch and course angle

3.2 动态条件及结果分析

动态实验时，将双天线和SPAN-CPT一体式闭环光纤组合导航系统（测姿精度俯仰角 0.02°，方位角0.06°）同时水平固定在实验小车中轴线上，以初始化后组合导航系统的输出作为姿态角参考值。实验地点为学院操场，实验中推行实验小车绕行足球场中圈做圆周运动3圈，采集GPS系统L1频点的数据，采样频率为1 Hz，基线长度为1.801 m。为了与静态实验一致，基线长度搜索范围为±10 cm，俯仰角、方位角的搜索范围为姿态角参考值±5°。

以姿态角参考值作为理论真值，将解算得到的基线长度、俯仰角、方位角与真值对比，得到的误差曲线如图3所示，姿态角误差统计结果如表5所示。基线长度测量结果RMSE为0.0038 m，与先验信息一致；姿态角存在系统性偏差，这是由于组合导航系统初始化误差、双天线的载体系Y轴与组合导航系统的载体系 Y轴方向不一致所引起的，方位角的 RMSE为0.1097°，俯仰角的RMSE为0.3236°。

图3 动态实验测量结果Fig.3 Attitude results of dynamic experiment

实验结果表明，利用本文新算法解算的姿态结果外符合精度良好，姿态信息测量准确，模糊度得到了正确的固定。

表5 基线长度、俯仰角和方位角的 RMSETab.5 RMSE of baseline length, pitch angle

通过静态和动态实验可以看出，采用本文改进算法能够在基线产生小动态变化的情况下，实现整周模糊度的单频单历元固定，得到精度较高的姿态信息。

4 结 论

本文针对实际航空工程中基线小动态变化的对GNSS姿态测量带来的影响，分析了基于模糊度反约束值域搜索算法，提出了变基线约束的单历元姿态测量新算法。通过对实测数据的分析，得到如下结论：

① 直接三维模糊度搜索模型在粗略姿态信息的辅助下，能够确保每一个模糊度不被漏搜，快速、高效地确定模糊度搜索空间。

② 基于模糊度残余最小的无参化目标函数不需要浮点解和基线长度参量辅助，克服了整周跳变和基线小动态变化的影响，适用于单历元模糊度固定。

本文提出的新算法能够在基线小动态变化的情况下，实现单频单历元的模糊度固定，适用于航空工程应用。

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）：

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