含次临界Sobolev指数半线性合作椭圆方程组非平凡解的存在性

樊自安， 寇继生

(湖北工程学院 数学与统计学院, 湖北 孝感 432000)

0 引 言

近年来， 关于合作椭圆方程组解的存在性被广泛的研究. Silva用鞍点定理在文献[1]中研究了Hamiltonian系统的解的存在性. Furtado 在文献[2]中研究了方程组

解的存在性. 相关论文还可参考文献[3-9]. 文献[10-13,15-17]利用Nehari流形的方法得到了椭圆方程的多解性.

本文主要研究下列椭圆方程组

(1)

当λ=1,a(x)=b(x)=c(x)=1时, 问题(1)相当于文献[15]的情形, 本文应用Nehari流形和局部环绕定理证明了当2

设(u,v), (φ,ψ)∈E, 定义算子T∶H→H*

其中

则算子T是对称的有界线性算子. 由Sobolev紧嵌入定理可知T是紧算子.

考虑特征值问题(2)

(2)

则λ是问题(2)的特征值当且仅当T(u,v) =λ-1(u,v). 问题(2)存在一系列特征值

0 <λ1<λ2≤…≤λk≤…,k=1,2,…,

成立. 详见文献[3,5].

定义1 (u,v)∈E是问题(1)的一个弱解， 是指任意(φ1,φ2)∈E满足

下面为本文的主要结果.

定理1 假设0 <λ<λ1, 则问题(1)存在一个非平凡解.

定理2 假设λk<λ<λk+1, 则问题(1)存在一个非平凡解.

1 定理1的证明

定义能量泛函

2b(x)uv+c(x)v2)dx-

其中

则J∈C1(E,R). 考虑Nehari流形Nλ={(u,v)∈E{(0,0)}|〈{J′(u,v),(u,v)〉=0}, 因此， (u,v)∈Nλ， 当且仅当

〈J′(u,v),(u,v)〉‖(u,v)‖2-A(u,v)-

K(u,v)=0.

对于(u,v)∈Nλ， 有

于是，J(u,v)是有下界的.

定义

M(u,v)=〈J′(u,v),(u,v)〉.

对于(u,v)∈Nλ, 有

〈M′(u,v),(u,v)〉=

2(‖(u,v)‖2-A(u,v))-pK(u,v)=

(2-p)K(u,v)=(2-p)‖(u,v)‖2-

(2-p)A(u,v).(3)

把Nλ分成3个部分， 即

证明此证明类似于文献[13]所述， 故略去证明.

由于(u,v)∈Nλ时,J(u,v)是有下界的, 我们可以定义

引理2 当0 <λ<λ1, 存在C0=C0(λ,λ1,p,S0)>0， 使得ξ->C0.

由式(4)， (5)得

(6)

于是由式(4)，(6)得,ξ->C0.

则有下列引理.

证明对于(u,v)∈E, 且K(u,v)>0, 设

h′(t)=t(‖(u,v)‖2-A(u,v))-tp-1K(u,v).

令h′(t)=0, 得到t=t0,h(0)=0,t→+ ∞,h(t)→-∞. 当t∈[0,t0),h′(t)>0; 当t∈[t0,∞),h′(t)<0, 因此h(t)在t=t0时达到最大值.

〈M′(t0u,t0v),(t0u,t0v)〉=

由式(4)知

(7)

2 定理2的证明

现在考虑λk<λ<λk+1的情形.

设X是一个实Banach空间,X=X1⊕X2, 设

定义3 设X是一个Banach空间,X=X1⊕X2, 泛函f∈C1(X,R)在0处关于(X1,X2)局部环绕, 假如存在r>0使得

f(u)≥0, ∀u∈X1,‖u‖ ≤r;

f(u) ≤ 0, ∀u∈X2, ‖u‖ ≤r.

引理5 设X是一个Banach空间,X=X1⊕X2, 泛函f∈C1(X,R)满足下列条件：

1) 泛函f在0处关于(X1,X2)局部环绕;

2) 泛函f满足(PS)*条件;

3) 泛函f从有界集映为有界集;

4) 对于∀m∈N, 当u∈Xm1⊕X2, ‖u‖→∞时,f(u)→- ∞;

则泛函f至少有一个非平凡的临界点[16].

设(u,v)∈E, 定义泛函

其中

2b(x)uv+c(x)v2)dx,

则J∈C1(E,R).

定理2的证明第一步,J∈C1(X,R), 泛函J在0处关于(X1,X2)局部环绕.

由于p>2, 存在足够小的r1>0, 使得当‖z‖ ≤r1时,J(z)≥0.

另外, 对于z∈X2=Hk, 当λk<λ<λk+1时,

即存在r2>0, 使得当‖z‖ ≤r2,J(z) ≤0.

取r=min{r1,r2},J在0处关于(X1,X2)局部环绕.

第二步, 泛函J从有界集映为有界集.

第三步, 泛函J满足(PS)*条件.

2J(zαn)-〈J′(zαn),zαn〉=

(9)

由Hölder不等式及式(8)，(9)得, 当n充分大时,

‖zαn-z‖2=〈J′(zαn-z),zαn-z〉+

因此, {zαn}存在收敛的子列.

M1‖z‖2≤ ‖z‖ ≤M2‖z‖2.(10)

于是

其中，M0=max{max|a(x)|, max|b(x)|, max|c(x)|}. 由于2

故对于任意M>0, 存在C(M)>0使得

|s|p≥M|s|2-C(M), ∀s∈R2,

a.e.x∈ΩRn.(12)

由式(10)～(12)得, 当λk<λ<λk+1,M足够大时, 有

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