投资组合风险管理中VaR模型的缺陷及其修正模型CVaR的研究

丁 芳

（宁夏师范学院数学与计算机科学学院，宁夏 固原 756000）

风险的评估和测量是金融风险管理的基础和和核心。要给出风险的确切表达并不是那么容易，1993年G-30成员国在《衍生产品的实践和规则》中首次提出利用“风险价值”评估金融风险，风险价值（VaR）是指在一定概率水平（置信度）下，某种金融资产或资产组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失[1]。VaR虽然具有概念简单，易于沟通和理解的优点，但是VaR不管是在理论上还是在应用上都存在巨大缺陷，因为大量实证表明资产收益率是非正态的，具有明显的尖峰后尾特性[2]，所以由于VaR存在这些缺陷，这些缺陷将影响投资组合选择的正确性。本文研究了VaR如何避免上述缺陷从而提出了VaR的改进模型CVaR。

一、VaR的两个重大缺陷

（一）VaR不满足一致性公理

在Artzner等人提出的一致性公理中，其认为：在判断某个风险计量是否属于一致性风险计量时，可观察其是否满足正齐次性、单调性、次可加性以及传递不变性四个条件；进一步的，对于充当投资组合管理工具的风险计量方法必须应当符合一致性的风险计量方法。按照上述公式，若两个不同投资组合的随机回报采用向量x和y的形式表示，则上述两个不同投资组合的随机回报的风险计量可分别用ρ(x)和ρ(y)表示，此时，根据一致性公理的四大条件，可对上述风险计量作如下表示：

正齐次性：ρ(αx)=αρ(x),α≥0为常数。正齐次性属于次可加性的特例，其主要负责对没有分散风险时的投资回报的效应进行反映；

单调性：若x≤y，则ρ(x)≤ρ(y)。单调性主要负责对不同投资组合之间的风险进行比较，当某一投资组合的单调性由于另一个投资组合时，认为单调性更优的投资组合的风险更低；

次可加性：ρ(x+y)≤ρ(x)+ρ(y)。与正齐次性相反，次可加性主要负责对具有分散风险的投资组合的特点进行反映；

传递不变性：ρ(x+b(1+r))=ρ(x)-b其中，r为无风险利率，b≥0。传递不变性主要负责如增加无风险的头寸到组合中，组合风险将随着无风险头寸的增加而减少[3]。

一致性公理表达的是金融风险最基本的常识，通过这些常识将检验风险计量工具对投资组合部分和整体的风险测量是否保证一致性（无矛盾）。公理的上述四大条件中，次可加性在计算中的作用最显著。

（二）VaR尾部损失测量的非充分性

按照Jorion的观点，所谓VaR，其本质实际上是对某个置信水平下的分位点，因此，也可将其称为分位点VaR。从VaR的应用原理与特点来看，其尾部损失测量的非充分性特征较为明显，分析原因主要在于利用VaR进行风险评估与测量时，往往不能对超过分位点的相关下方风险信息进行充分考虑，受此影响，人们往往会因此而忽略了小概率风险导致巨额损失情形的发生，而对于现代企业经营而言，上述风险情况正是其在进行风险管理时所必须给予重点关注的内容。

二、VaR的优化模型CVaR模型的提出

（一）CVaR模型

大量实证研究表明，资产回报是非正态的，它具有尖峰后尾性，这极大地限制了VaR的应用范围，为了修正VaR，RockafeUar和Uryasev等于1997年提出的一种较VaR更优的风险计量技术CVaR（Con-ditional Value at Risk），其含义是指在一定的置信度和正常的市场条件下，在给定的时间T内，投资组合的损失超过某个给定VaR值条件下的期望损失，用公式可表示为：

CVaR=E(-X|-X＞VaR)

式中，X为资产组合的损失额，即X=WΔt-E(W)。至于CVaR值的计算因为涉及到VaR值，所以很难计算，在实际计算过程中我们需要通过构造辅助函数计算。由CVaR的定义我们很容易知道CVaR满足传递不变性，单调性与正齐次性，CVaR具有次可加性，对于两个随机变量X与Y，Z=X+Y也满足：

CRaR(Z)≤CVaR(X)+CVaR(Y)。

（二）CVaR的优势

相较于VaR模型，CVaR模型能够实现对尾部风险——“尖峰”以及“厚尾”现象的有效控制，因此可有效解决VaR模型下难以对尾部损失风险进行准确估计的问题，长远来看，这对于因为尾部损失风险估计不足而导致的极端事件和重大经济损失的避免与防止有重要作用。

此外，CVaR模型有着较强的适应性也是其主要的应用优势之一。Artzner等证明了CVaR在进行投资组合优化时，对于CVaR的求解可以采用熟悉的凸组合规划来解决，另外CVaR是满足次可加性和凸的，符合一致性风险度量的条件[4]。

三、风险测量方法的评价

从数学意义上讲，CVaR是一个条件期望，反映了损失在VaR值以上时可能遭受的平均损失的大小，从该层面出发，其相较于VaR值，能够更加准确、灵活的对风险的潜在价值进行估计。CVaR较VaR有更加良好的数学性质和可操作性。

（一）CVaR满足次可加性，是一致性风险度量

CVaR函数满足Artzner等提出的一致性公理，VaR不满足次可加性，对非正态分布的情形，不是一致风险度量，当两种资产组合的VaR值比各自单独的VaR值的和更大时，意味着对资产组合进行分散不仅不能够降低投资风险，相反，投资的风险还会因此而增加。另外，在正态分布的情况下，CVaR度量和VaR度量等价，此时，经过一定的公式计算同样能够得出最优解；但需要注意的是，在非正态分布的情况下，在求解最优解时，应当确保CVaR同时满足次可加性和凸型的要求，与此同时，若VaR度量为极小值点，则将不存在最优解，此外，若CVaR为极小值，则此时，不论投资回报是否满足正态分布条件，其均存在最优解。

（二）CVaR和VaR相比

CVaR是尾部损失的平均值，其能够对超出VaR部分损失的相关信息进行准确反映；与此同时，VaR主要反映的是一定置信度内的投资最大损失，其未能对高于VaR值损失部分可能性的发生进行排除，但是CVaR刚好考虑的是尾部损失的期望值大小，因此在一定的程度上排除了尾部风险，计算CVaR要对大于VaR的所有尾部损失进行估计，受此影响，在利用CVaR进行测度时，其对于损益分布的尾部损失度量较VaR更加完整、充分，尤其是损益分布不满足正态分布时，利用CVaR进行测量和计算，可获得较VaR更全面、有效数理特征。另外，利用CVaR进行风险估算，能够在对原有系统进行保留的情况下同时获得CVaR值，除此之外，相应的VaR值也可通过计算获取，因此，能够实现风险实施进行双重监测的目的；与此同时，上述优势也使得CVaR计算下能够对不同的结果进行相互校验，这对于检验结果的准确性的提升有重要意义。总之，在社会未来的发展中，随着金融全球化进程的不断加深，为进一步降低金融风险，CVaR的应用范围和应用深度必将不断扩大和增强。