孙鸿雁 耿凤杰 王翠香
摘 要: 積分学是《高等数学》课程的主要组成部分之一,也是难点之一。首先,分析积分学出现的背景问题,指导学生从本质上理解积分的定义;其次,解析两类积分计算公式的推导,指导学生理解数学公式;最后,分析具体例子,指导学生选取正确的微元。通过上述三个方面,引导学生站在发现者的角度探索数学,发现数学,真正理解和内化数学思想方法。
关键词: 微元;积分;近似
一、 引言
微积分学是十七世纪数学中的一个最伟大创造(参看文献),它是分析学的理论基石,也是公共基础课《高等数学》的核心内容之一,在几何学、物理学和实际问题中都有广泛运用。本文讨论其中的积分学部分,高等数学中的积分学包括:定积分、重积分、曲线积分、曲面积分四部分,内容繁多,既是该课程的重点之一,也是难点之一。很多学生在学习中由于忽视对积分本质的理解,往往被困于繁琐的公式中,计算容易出错,还不会应用,学习效率低下。
数学教育的根本目的是教学生学会思考,“授之以鱼,不如授之以渔”。近年来,教育工作者越来越重视培养学生的数学素养,调动学生主动学习的积极性。主张学生是教学活动的认知主体,教师由传统知识的知识传授者转化为学生知识建构的协助者和促进者,引导学生主动探索,协助构建知识网络。利用博弈论的方法分析高等数学教学中师生合作的可能,本文也是对传统课堂的改革,突出学生的主体地位。
本文以积分学为载体,探讨作为学习活动的主体,学生该如何发现知识。首先,从积分的本质出发,梳理积分定义的四个步骤,引导学生根据各类积分的背景提出相应积分的定义。只有真正理解了积分的涵义,才能做到灵活运用其解决实际问题。其次,我们指导学生运用“以直代曲”“以不变代变”的近似思想,自行推导计算积分公式;然后,分析做近似时的难点并提出解决方法。本文以学生熟悉的内容为平台,引导学生从发现者的角度理解数学。真正理解了的东西才能做到灵活运用。
二、 发现之旅
(一) 从积分本质出发理解各类积分的定义
下面以求密度不均匀曲线构建的质量问题为例理解积分的定义。既然曲线密度不均匀,那么我们就无法直接采用密度乘长度的方法求质量,但可以考虑做近似,然而直接把整个曲线构建近似看作密度均匀的构建,会有误差,于是考虑先将构建分割,对每段的质量求近似,从而得整个构建质量的近似。直观上,分割越细,近似值越接近于精确值;那么直至不可分时,所得值便是曲线构建质量的真实值。根据这一分析总结求曲线构建的质量的过程即是:
1. 分割曲线构建;
2. 任取该部分上某一点处的密度近似作为该部分的密度,然后乘该部分的弧长,得小弧段质量的近似值;
3. 各部分近似质量求和,得曲线构建的近似质量;
4. 令分割细度(即分割后小弧段长度的最大值)收敛到零,取第3步所得和式的极限,若存在,它就是曲线构建的精确质量。最后,用数学语言刻画该问题,曲线构建即是一条曲线,密度即是定义在包含该曲线的平面区域上的二元函数,通过分割、取点(近似)、求和的方式得到积分和,该和式极限若存在,它就是第一类曲线积分。
简言之,第一类曲线积分的定义可概括为如下四词:有限分割、近似、求和、求极限。事实上,每种积分的定义都由这四个词对应的四步构成,本质是相同的。理解积分的本质,不仅有助于理解各类积分,还能帮助人们从容面对各式各样的实际应用问题。
(二) 推导积分计算公式
有了各类积分的定义后(或者把一个实际应用问题转化成求积分的问题后),接下来人们关心其计算问题。在计算中,学生之所以会出错,是因为没有真正理解符号的含义,套公式时出错。为解决这一问题,建议学生通过自行探索的方式,理解公式,然后运用。下面,我们通过分析学生出现问题比较多的两类计算,指导学生如何推导公式。
第一个问题是关于第一类曲线积分的计算,设L是平面上的一条光滑曲线,f(x,y)是定义在L上的连续函数,求∫ Lf(x,y) d s。为计算之,首先需要转化 d s,回顾其含义,它表示弧长微元,即有限细分后小弧段 Δ s长度的合理近似。(注怎样取近似才算合理?这是一个复杂的问题,我们将在第四部分举例说明。合理近似的原则是近似值和真实值之间的误差是分割细度的高阶无穷小量,因为此时误差部分对应的和式极限为零,该误差不会影响积分和的极限,从而得到真实的极限,求得积分。)如何求弧长微元?有些同学可能还记得在定积分应用部分(可参看文献),我们推导过其计算公式。此处,通过温习这一推导过程指导学生遇到问题时学会分析解决问题,无需总是试图去回忆公式。
熟知的与求弧长有关的知识是线段长度的求法。于是采用“以直代曲”的思想做近似。首先,连接该弧段的端点,将小弧近似看作线段,易知其长度为 ( Δ x) 2+( Δ y) 2 ,而其中的 Δ y的精确值也无从得知。但学过一元函数微分,我们知道当 Δ x很小时,可以用 d y近似代替 Δ y,于是得 Δ s约等于 ( d x) 2+( d y) 2 ,此即为欲求的弧长微元 d s。最后根据曲线的具体表达形式(直角坐标形式,参数方程形式,极坐标形式),把x,y, d x, d y代入到积分表达式中,同时,将积分曲线L改为曲线表达式中参数的取值区间。最终,将第一类曲线积分转化成了定积分。
第二个问题是计算第二类曲面积分,设∑是有向光滑曲面,求 ∑ R(x,y,z) d x d y。首先理解其中每一个符号的含义,回到应用背景,积分元素R(x,y,z) d x d y表示单位时间内密度为1的流体以速度(0,0,R(x,y,z))流经有向曲面上小曲面 d s在平面xOy上投影区域(该区域的方向和 d s的方向保持一致)的流量。首先,将积分曲面Σ表达成x,y的函数,即写成z=z(x,y)的形式。(注不能写成一个函数时,可分块,写成多个函数。)令γ表示曲面Σ在(x,y,z)处与z轴正向的夹角, d σ表示曲面 d s在xOy面上投影区域的面积大小,则流量大小等于|R(x,y,z)| d σ。流量符号取决于流体流向和区域方向的夹角。当夹角为锐角时,流量为正;当夹角为钝角时,流量为负。注意到流体方向(0,0,R(x,y,z))平行于z轴。由此可得,流量符号为 sgn ( cos (γ)·R(x,y,z))。于是R(x,y,z) d x d y等于 sgn(cos (γ))·R(x,y,z) d σ。最后,用D表示Σ在xOy面上的投影,累积可得,曲面积分 Σ R(x,y,z) d x d y等于二重积分 D sgn(cos (γ))·R(x,y,z) d σ。
积分中的每个符号都有其含义,理解之,刻画之,最后转化成定积分或者重积分都是顺理成章的。积分计算部分公式繁多,切忌生搬硬套。自行推导几遍后,看似复杂的公式也都生动起来,每个符号都有其直观含义,根据理解写出公式,远比硬性记忆可靠得多。
(三) 选取微元的技巧
通过上述问题的分析,我们注意到计算积分时最关键的部分是求微元。下面来讨论求微元时易出现的问题。求微元时,通常采用“以直代曲”、“以不变代变”的近似方法,近似的原则是:使得近似值和真实值之间至多相差分割细度的一个高阶无穷小量。然而,在实际操作时我们根本无从验证这一点,因为真实值不得而知。所以在选取微元时,大多是凭直观。那么,具体操作起来可能会有多种可选的近似方式,但哪一种是对的呢?下面将通过分析具体的例子,为选取正确的微元提供思路。
问题:求曲线y=f(x),x∈[a,b]绕x轴旋转一周所得旋转体的体积和侧面积(可参看文献[4,5])。如果函数f(x)在区间[a,b]上是直线段,那么该旋转体就是圆柱、圆锥或者圆台,求这种立体的体积和侧面积已有现成公式。如果f(x)不是直线段,那么该几何体就是不规则图形,我们采用微元法计算其体积和侧面积。首先,将区间[a,b]划分成若干小区间,选取其中小区间[x,x+ d x]对应的小立体。此问题中的体积(或者侧面积)微元即是该小立体体积(或者侧面积)的近似值。我们采用“以直代曲”的思想,将其近似看作规则图形,求其体积(或者侧面积)的近似值。在近似选取上有人会将其近似看作圆柱体,有人会近似为圆台(参看文献[5])。
首先,将该小立体近似看作是一个以f(x)为截面半径, d x为高的圆柱。那么,体积微元 d V= π f 2(x) d x,在区间[a,b]上累积可得立体的体积V=∫ b a π f 2(x) d x;侧面积微元为 d S=2 π f(x)dx,在区间[a,b]上累积可得立体的侧面积
d S=2 π ∫ b af(x) d x。
另一方面,将该小立体近似看作是一个分别以f(x)和f(x+ d x)为底面半径, d x为高的圆台,由圆台的体积公式可得,此圆台体积为
1 3 π (f 2(x)+f(x)f(x+ d x)+f 2(x+ d x)) d x,其中f(x+ d x)仍未知,注意到 d x为无穷小量,并且上式中有一个因子为 d x,于是可用f(x)近似代替f(x+ d x),整理可得体积微元 d V= π f 2(x) d x,与第一种方法所得结果相同。由圆台的侧面积公式可得,此圆台侧面积为 π (f(x)+f(x+ d x)) d l,其中 d l为圆台的母线长,即是点(x,f(x))到点(x+ d x,f(x+ d x))的距离。由本文第三部分的分析知,可用
( d x) 2+( d y) 2 = 1+(f′(x)) 2 d x作为 d l的近似。由于 d l的近似中包含了因子 d x,所以可用f(x)近似代替f(x+ d x)。于是侧面积微元 d S=2 π f(x) 1+(f′(x)) 2 d x,在区间[a,b]上累积,得侧面积S=2 π ∫ b af(x) 1+(f′(x)) 2 d x,与第一种方法所得结论不同,两者必有一处是错误的。
在教学中,为了指引学生选择正确的微元,我们采用特例验证的方式。考虑线段y=x,x∈[0,1]绕x轴旋轉一周所得到的立体的体积和侧面积。该立体是一个底面半径为1,高为1的圆锥,由圆锥的侧面积公式,知其侧面积为 2 π 。下面用上述两种方法得到的公式进行计算。如果采用第一种近似方式,可得侧面积为2 π ∫ 1 0x d x= π ;如果采用第二种近似方式,可得侧面积为
2 π ∫ 1 0x 1+1 d x= 2 π 。读者也可以自行验证用上述所得积分计算此圆锥体积也是正确的。至此,我们得出计算体积微元时两种近似方式都可以,计算侧面积微元时,只能选择第二种近似方式。
可用积分解决的实际问题种类繁多,难点在于求微元。而在做近似时,我们通常凭直觉,这种做法必然带来争议,当有多种近似方式看上去都合理时,不妨取一个已经解决了的特例,用之帮助人们正确选择近似的方式,从而得到正确的微元。
三、 结语
《高等数学》课程知识点多,较为抽象。很多同学总想绕过那些缜密严谨的数学推导,生搬硬套,领会不到数学方法的精髓。事实上,数学的美就在于其严密性和逻辑性,试图站在发现数学的角度,从每个知识点的背景出发,跟随教材的内容,自行探索问题的解决办法。这样下来每一个定义,每一个定理都是顺理成章的,也不再晦涩难懂,整个课程也不再是零零散散的定理公式,而是一棵枝繁叶茂的大树。
参考文献:
[1]Morris,Kline著,张理京,张锦炎,江泽涵等译.古今数学思想[M].上海科学技术出版社,2009.
[2]余时伟,宋莉.建构主义下微积分教师的教学策略[J].大学数学,2017,33(191):52-55.
[3]杨水涛.高校高等数学教与学的博弈[J].大学数学,2017,33(190):60-65.
[4]褚宝增,陈兆斗.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2013.
[5]华东师范大学数学系.数学分析[M].第四版,北京:高等教育出版社,2010.