应用型本科高等数学的教学模式改革初探

俞超群

（阳光学院，福建福州，350015）

一、前言

高等数学和初等数学最大的不同在于：初等数学学习常量，而高等数学学习变量，变量的学习要结合变化过程来研究其变化的趋势。这个转化的困难集中体现在极限这一章节中，而极限又是微分学习和积分学习的基础，其重要地位不言而喻。本文就以极限教学为例谈谈应用型本科基础课程教学的教学模式改革。

高等数学是应用型本科大一学生的一门必修课，这部分学生还没适应高等数学的学习方式，也没形成良好的学习习惯，加上高等数学课程性质决定了其教学内容抽象、不易理解，所以学生被动听讲者居多，未能达到良好的教学效果，在文献[1]列举了高等数学教学中存在的问题。提高学生学习数学的主动性的关键是要让学生参与到课堂中来，在信息技术的推动下， “翻转课堂”模式逐渐被现代课程采用。它是以教师录制的微视频为载体，让学生自主参与的一种教学模式，在教学中突出了学生的主体地位，并发挥了教师的引导作用。文献[2][3][4]介绍了“翻转课堂”的起源和发展以及它的主要特征。

二、“翻转课堂”预备

高等数学有其课程抽象性的特点，作为一门基础课程，课程的学习仍需要以教师的讲授为主，如果一下子让学生角色发生改变，在自学的时候学不会，无法掌握学习的主动权，就会造成无效的“翻转课堂”。如何将“翻转课堂”与传统教学有效结合，实施方法要循序渐进。

三、“翻转课堂”教学模式初探

在《高等数学》学习中，学生常感到“难、抽象”，体现“翻转课堂”的循序渐进，教师可以从解题方法的翻转开始，之后再酌情考虑定义、概念的“翻转课堂”。在教学过程中，有个常见的现象是，无论教师重复多少次，学生也还会犯错。比如，求极限，过程中的极限号没有写；又比如，不符合公式形式，出现公式乱套用，错套用的现象，甚至在课堂上指出过的错误还是频繁出现。因为这个阶段还处在模仿的“形似”，学生没有把所学内容内化，还未抓住问题的核心和本质。所以让学生发挥学生学习主体性的第二步，就是让学生将模仿解题的方法能内化成抓住解题的核心和本质。“翻转课堂” 的第二阶段的实现，选择第二个重要极限的掌握作为教学内容。

（一） 课前学习环节设计

1.录制10分钟左右的微视频

视频录制的优点在于，视频可以提供回放、暂停的功能，学生看不懂、听不懂的点可以无限次的回放学习，但是视频学习和课堂学习不一样，如果一个视频录制了45分钟左右，没有课堂氛围的约束性，学生在视频学习过程中就会走神，从而就不能发挥视频学习的效果，所以录制的微视频力求清晰简洁，描述通俗易懂，时间又不宜过长。在第二个重要极限的微视频当中，时长控制在十分钟左右，视频课程关键要讲明第二个重要极限是a.针对幂指函数求极限，b.极限的类型要满足类型的未定式，c.要符合第二个重要极限的形式才能得到该结果。针对第3点，可以引导学生观察，在第二个重要极限1=e 中，幂指函数的底数位置是)，强调符号是加号，而幂指函数的指数位置是底数中的倒数 x。这个公式的应用，可以用模块化加以抽象并推广，只要抓住符合公式形式就可以，将 x位置看成某个函数 u(x)，公式同样适用，故可以得到。公式应用举例可用，这个例题中将函数化成(1 + x ) = l n(1 +后考察极限符合上述的三个条件，可以用第二个重要极限公式。

2.设置初级题库，巩固基础能力

在第二个重要极限的初级题库中，设置了两个题目，帮助学生掌握关键点。练习题-，这两个练习题都是幂指函数的1∞类型的未定式求极限，但是都与第二个重要极限形式不同，第一题倒数关系不符合，第二题底数的加号，以及倒数关系都不符合，需要转化才能应用公式，这两个练习的编写为了让学生通过模仿例题，把握第二个重要极限的关键要素。

3.设置一两个难题，为课中教学埋下伏笔

完成基础练习题，学生对于第二个重要极限的特点有了一定的把握，但是如果形式复杂一些，又会束手无策，设置一两个提高题，一是作为学生课前交流的疑难问题，二是作为课堂学习环节的引入。根据学生实际，编写的提高题是。

（二）课堂教学设计与组织

1.分组协作，随机抽取两组汇报课前难题的解决方案

由事前分好的学习小组中，随机抽取两组，每组选择一位同学，在课堂上展示本小组的自学成果，在讨论中发现，学生能抓住视频中学习的关键点，但是技巧类的地方未能转化，造成提高题完成的困难性，比如：基础题转化中懂得在指数的地方需要，所以直接将原式整理成为(1 +，但是这个方法在提高题+ s in 整理中指数的变形易产生错误。2.教师引导，分析讨论解决方案，肯定基本解决问题方法教师要布控整个课堂的节奏，学生在第一环节的时间不需要太长，引导学生思考初级题1中为什么在指数位置要有一个，根据什么得到，然后借用俚语：“有借有还，借不难”，从而把握第二个重要极限的解题技巧，在指数的位置先借一个底数“1+”后面变量的倒数，再还一个，保证式子的恒等。以提高题sin 2 1 2为例，， 其中指数x→0位置①是根据底数构造借得的，指数位置②sinx是根据位置①还的。在肯定学生解决方法的基础上，直观地让学生悟出解题的技巧性，避免出现错误，有效实现了知识的内化。

3.总结提高，结合专业知识点，发挥基础课程应用型特色

应用型本科强调应用环节的渗透，在教学过程中可以将基础课程和学生的专业课程相结合，为专业学科服务。比如《投资项目评价》[5]中，谈到的连续复利问题，就可以利用第二个重要极限解决，可以用该题目的完成作为学生对这个知识点的考核，同时也可以让学生明白基础知识的重要性。除此以外，如果偏专业内容多，或者比较复杂的问题，可以作为背景介绍，引发学生的兴趣，让学有余力的同学课后找资料再进行研究，实现分层教学。

（三）课后教学反思

1.掌握第二个重要极限的结论和应用技巧，这是数学计算层面的问题，通过“翻转课堂”，达到了教学目标，并且学生经过协作学习，疑难问题的互相讨论，能提高学生学习的主动性和自觉性，这种思想碰撞产生的火花能使得教学效果来得更好。但是数学课程的抽象性更多体现在概念方面，比如极限定义，微分定义，积分定义，这些教学完成不能通过“翻转课堂”一蹴而就，还需要配合教师的传统教学。引导学生参与到数学概念形成的探索过程，将“要我学”转为“我要学”，实现概念类知识点的“翻转课堂”，教师在讲授概念类知识点的过程中注意教会学生如何学习概念类知识点，让学生感觉到这个过程是水到渠成，而非一山望着一山高，让学生能通过已知的问题去理解未知的概念，掌握数学的学习方法，一个有效的教学手段就是知识点间的迁移。以极限为例，极限的定义有数列极限的定义、函数极限的定义，并且在函数极限中涉及到的变化过程就有四种，趋于无穷大的两个方向，趋于有限值的两个方向。对于应用型本科极限定义只要求直观定义，不要求严格证明，这么多种极限的定义，在讲授过程中可以用知识迁移的教学模式，实现举一反三。

2.多个知识点迁移的教学模式，找到“翻转课堂”和传统教学的契合点

极限是这个高等数学贯穿始终的研究工具，学习极限是从极限理论中最基本的概念——数列极限的概念入手的。但是为了完成知识点的迁移，在介绍数列概念的时候，指出数列是个特殊的函数——以下标为自变量的函数，并且在图形上表示出来。以研究1为例，通过数形结合（见图1），理解其变化过程和变化的趋势。

图1

图2

而在介绍函数极限的概念的时候，可以从数列极限推广，设置例题（见图 2），对比两个图形，学生们就能了解到函数极限是由对数列极限中点的变化趋势的研究转为对曲线变化趋势的研究，然后接着分析对于曲线，在 x→-∞ 的变化过程中，曲线的变化趋势（见图 3）。

图3

了解到对于函数极限 x→∞ 有两种变化过程，这是跟数列极限不一样的地方。接着再引导学生思考，为什么函数在 x→∞ 的变化过程中有两个方向，数列没有，得到是因为函数定义域是在实数域内考虑，而数列是在自然数域内考虑，实数是密集在数轴上的，从而变化过程除了 x→∞，还有趋于有限值 x→∞。这样，选择恰当的例题，把数列极限定义迁移到函数极限的定义，方便学生快速学习和掌握，为理论概念的“翻转课堂”做准备。

四、结语

教学改革的方向是找寻如何将“翻转课堂”和传统教学相结合，在教学的过程中，教师要有意识地教会学生学习的方法，找到知识点间的联系，在教学安排中选择合适的例题，让学生感觉到数学的学习过程是一个由已知推导未知的过程。在课程设置中，教师要根据收集到的教学资料，逐渐由计算类的知识点过渡到概念类知识点的“翻转课堂”。