经历“生成”过程，让新知自然“发生”——以《数系的扩充》为例谈概念课教学

江苏省南京市第十二中学 韩 静

概念课的教学是高中数学教学中的一个重要环节，而“概念不清”也是很多教师在进行高三复习时对学生最多的评价，究其原因，很多是因为在新授课时教师本身忽视了概念课的教学，对于概念一带而过，课堂上重练习轻理论。目前有一种新课模式就是：概念5分钟，例题、练习一节课，这样的课堂短期内可能学生做题效果还不错，但对于学生数学基本素养的培养是极其不利的。本文结合《数系的扩充》这一课题，谈谈这节课的设计及感想。

一、背景分析

《普通高中数学课程标准》中提道：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

本节是苏教版数学选修2-2第三章第一节，复数的引入实现了中学阶段数的概念的最后一次扩充。本节课是该章的起始课、基础课，是一节典型的概念课，在教学中起着承上启下的作用，通过让学生回忆数系扩充的过程，能使学生对数的概念有一个初步完整的认识，从而体会到虚数引入的必要性和合理性，学生通过理解复数的相关概念，掌握复数相等的充要条件，为后续复数四则运算的学习奠定基础。

二、设计思路

1．问题情境

从一个简单的问题“求两个数使得它们的和为10，积为21”开始，然后把“积改为22,再改成40”，将意大利数学家卡尔丹遇到的问题进行改编，用熟悉的解方程问题作为情境，从直接看出根到用求根公式再到Δ＜0，方程无实根，让学生体会数的概念的扩充过程，感受到现有的数不够用了，形成认知冲突，意识到实数系需要扩充，充分激发其对研究新知识的欲望。

2．虚数单位i的引入

虚数单位i的引入是本节的一个难点，这也是数学发展过程中一次重要的“发明”，而要突破这一难点，就需要学生回顾之前每一次数系扩充的过程，并且认识到在数系扩充过程中所遵循的一般性原则，然后通过类比，才能够让i的出现水到渠成。

结合以上解方程环节中出现的数，让学生回顾学习过的数集有哪些，围绕三个问题：“1.每一次数系的扩充是怎么做的？2.数系扩充的原因是什么？3.引入新数后，对它的运算又是如何规定的？”进行小组讨论并汇报。

设计意图：复习回忆学生已经学习过的数集，在此基础上帮助学生再次建构数系的扩充过程，这是本节课的生长点。组织学生小组讨论，对前几次数系的扩充进行梳理，让学生感受到数系扩充既是数学内部矛盾的需要，也是社会实际的需求，让学生体会数的概念发展的合理性和必需性。总结概括出数系扩充的一般原则：（1）引入新数；（2）在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来的数集中不是总可以实施的矛盾，为下面数系的进一步扩充做好理论准备。

3．建构数学

通过问题：“在引入i后，它在原来的实数集中是孤家寡人啊，要怎样让它去跟实数建立起关系呢？”再次类比每次数系扩充的原则，得到对虚数单位的规定：①i2=-1；②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。有了这个规定，可以让学生自己写出一些新的数，鼓励其多用原来的数和i进行加减乘除运算，最后把这些数从特殊到一般进行归纳，得到复数的一般形式。

在这个过程中，学生一开始会比较“保守”，只会写出如“2i，3-i，5+i…”这样的数，教师要耐心等待，也可以适时地自己写出一个数，学生的思路一旦打开后，就不难写出更加丰富多彩的数来了，如这时候，老师可以引导其总结以上数的结构特征，当然对于学生写出的一些“特别”的数，可以适当化简，有的还需要进行解释，如“lni”，我们高中数学阶段研究的对数中，真数都是大于0的实数，当学生亲身体验过这一过程并把心中的疑惑消除后，复数的一般形式a+bi（a,b∈R）便会很容易地从特殊中提取出来了，这时候再给出实部、虚部的定义，复数的分类，最后再进行一些例题和练习的训练来巩固对概念的理解和辨析。

三、课后反思

本节课是很多公开课以及赛课常选的课题，这节课的难点是在虚数i的引入这个环节上。

教材中给出了两条平行的线索来叙述数系的扩充过程：1.社会发展的需要；2.数学内部的矛盾驱使。在公开课中常见的引入是两条线索齐头并进，一边从社会发展、生产的需要来看，人们是怎样经历从N→Z→Q→R的扩充，一边再由数学内部来看，如方程x+4=0在自然数集中无解，为此引入负数，方程3x-2=0在整数集中无解，为此引入分数，方程x2-2=0在有理数集中无解，为此引入无理数，最终将数集扩充到了实数集。这样的两条线均衡用力的方式，会削弱情境的价值，不能突出主题，让学生有种被推着走的感觉。

“问题是数学的心脏”，所以，用问题串的方式来作为概念课引入的情境设置不失为一个好的模式。认真重视概念课的教学，让学生多经历、多感悟，参与“再创造”，才能使知识的获得更加有效和长效。