高中数学中数形结合法的应用策略

摘要：随着中学数学教学的改革，培养学生能力、提高教学质量成了中学数学教师研究的课题。数形结合是最为重要的数学思想方法之一，它使“形”和“数”联系起来，以数助形，以形助数，灵活解决了高中数学中的诸多问题。本文从数形结合的定义和应用原则出发，对数形结合法在高中数学中的应用进行探讨。

关键词：数学方法；高中数学；数形结合

引言：

数形结合是高中数学中最基本的思想方法，运用数形结合解题就是在解决有关数量问题时，根据数量画出相应的几何图形，将其转化为几何问題；或者在解决几何问题时，根据图形写出相应的代数信息，将其转化为代数问题，从而实现灵活的解决实际问题。采用数形结合方法可以使要解决的问题化难为易，化繁为简，扩展思维。

一、数形结合的定义

数学的研究对象是现实世界数量关系（数）与空间形式（形），“数”体现了数量的关系，而“形”体现了空间的形式。数和形常常相互依存，抽象的数量关系常有直观的几何意义，而直观的图形性质也常由数量关系加以描述，数和形在一定的条件下可以相互转化。所谓的数形结合主要是指在数学课堂教学中，通过将“数”与“形”相互结合的方式，扩展解题思路，明确解题方向，进而将抽象数学思维与空间逻辑相结合，通过直观的形象展示数学思路，将复杂化的数学题目简单化[1]。

二、数形结合的应用原则

由于数学问题千变万化，解决问题时没有固定统一的模式与方法，将数形结合方法应用于数学教学时，一方面要符合数学的教学原则以及数形结合方法在教学中的教育价值，另一方面要符合高中生学习的认知特点。应用数形结合时，应遵循以下原则：

1、等价性原则

等价性原则是指“形”的几何性质与“数”的代数性质的转换过程应该是等价的，即对所说问题的图像表示与数所反映的数量关系应具有一致性。同时，在运用图形解题时要注意把握其准确性，防止误差的出现。

2、双向性原则

双向性原则是指不仅要对数学问题进行代数的抽象探索，还要对几何图形进行直观分析。代数关系的表示及运算要比几何直观图形结构更具有优越性，避免了几何构图的许多局限性。而图形表示又更直观，从而体现出“形”和“数”的和谐之处。

3、简洁性原则

简洁性原则是指数形转换时，尽可能使构图简单合理。既要做到几何作图完整直观，又要使得代数计算简洁、明了，避免复杂繁琐运算，缩短解题时间，降低难度。从而实现“化难为易，化繁为简”的目的，符合数学简洁美的要求，也体现出解决问题的艺术性与创新性。

4、直观性原则

直观性原则是指不仅要求充分利用坐标及图形，还要在应用数形结合图形演示或者模拟列表的数学实验，使抽象的数学概念直观化、具体化和模型化。比如，学习微积分时，教师应该为学生介绍积分的思想以及用分割法求积分的思想，使得学生对积分有直观明了的理解和掌握。

三、数形结合在高中数学中的应用策略

1、数形结合在三角函数中的应用

三角函数是描述周期运动的重要数学模型，也是高中数学中的重点和难点，这时就需要运用数形结合方法来进行解决。比如：求5π/3的正弦、余弦和正切值。在解决该问题时，可以采用数形结合的方法[2]。

在解决该问题时，在坐标系中在角5π/3上任取点P，画辅助线AP，得到一个三角形Rt△PAO，通过各点的坐标得出各线段的长度，在求得所知角的正弦、余弦和正切值，作图之后利用图像特征我们可以轻松的画出辅助线，清晰直观的帮助我们快速解题。

2、数形结合在立体几何中的应用

高中数学中，立体几何的空间性较为突出，因此在解决立体几何问题时，应该坚持“以数助图”，通过题目中已知的数学信息，进行图形的转变。可以对几何图形增加辅助线，通过图形发现题目中隐藏的数学信息，进而运用所学的定义和理论套用在几何运算中，将复杂的几何图形简单化[3]。比如：对于垂直、平行关系的几何题目，将复杂的几何问题转变为代数计算，通过代数推理解决几何问题。还可以适当采用向量法，将几何数据转化为线段，运用向量关系推理几何推理。此外，将数形几何方法应用于几何问题的解题过程中时，需要注意将代数与几何的相互衔接，还要结合几何定理进行解题。

3、数形结合在解方程中的应用

在高中数学中，科学、合理地运用数形结合的方法进行解题，能够有效地提高解方程的效率。第一，在进行一元二次不等次解题的过程中，可以将一元二次不等式转化成二次函数图像的形式，将数转化为形，并通过二次函数中抛物线的交点、开口方向进行求解。第二，在求方程的实根个数的应用，同样是通过二次函数的数形结合方法，通过图像的交点的交点判断实数根的个数。此外，在运用二次函数图像解方程的过程中，要保证图像的准确性，避免在解题过程中出错，在遇到较为复杂的方程解题时，一方面要注意二次函数的准确性，另一方面还要考虑代数公式的引入，运用数形结合的方法进行分类求解，确保答案精准。

结束语：

总之，利用数形结合思想有利于初、高中数学教学的过渡衔接。通过数形结合方法引导学生由静态思维方式变为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题。通过前文的论述，我们知道数形结合方法可以增加解决问题的灵活性。因此，数形结合在数学教学中据用重要的地位，需要不断探索并应用。

参考文献：

[1]蔡平.数形结合方法在高中数学教学中的应用分析[J].数理化解题研究，2016（15）：8.

[2]孙丽艳.数形结合方法在高中数学教学中的应用[J].《中国校外教育旬刊》，2015（10）：127-127

[3]董爱华.浅谈高中数学中数形结合的应用策略[J].数学学习与研究，2015（21）：75.

作者简介：郭梓灏（2000.10.22—）男，汉族，河北省武安市人，高中学历。endprint