概率论与数理统计教学方法初探

武杰+黄昭+程适

摘 要 “概率论与数理统计”是讲解生活中随机现象内在规律的课程，旨在提供一种分析与理解自然界随机现象的统计性工具。作为大学本科的基础必修课程，该课程不仅具有较强的理论性，还具有广泛的实践性。因此，在教学过程中，如何实现课程内容的有效组织；以何种方式引导学生逐步深入，进而构建自己的知识体系是本课程老师应该深入思考的问题。本文作者结合自己的教学经验，对本课程的教学方法和策略进行了探讨。

关键词 教学方法 事例引导 定理证明 逻辑思维

中图分类号：G424 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.11.055

Abstract The probability theory and mathematical statistics is commonly applied to explain the inherent law of random phenomena in our daily life， and its target is providing a tool for statistical analysis and understanding of the nature of random phenomena. As a basic course of the undergraduate students， the curriculum is not only a theoretical course but also a practical course. Therefore， in the process of this course， the corresponding teachers should give a deeply thinking on how to effectively organize the content of the curriculum， and how to help the students to learn about the knowledge and construct their own knowledge system. In this paper， from authors own experience on the teaching of this course， some teaching methods and strategies are discussed.

Keywords Teaching methods； case based guiding； theorem proving； logical thinking

0 引言

“概率论与数理统计”[1]不仅是一门数学类的基础理论课，还是一门与现实生活紧密联系的方法类课程。它已经渗透到计算机科学、工商管理、金融分析、生物医学、工业工程等高新技术领域，是经济、管理、理工科等学科各专业学生的必修基础课程之一。然而，目前的教学中多数教师往往侧重对抽象理论、抽象概念等的讲解，忽视了本课程在现实生活中对事物现象发生规律的解释能力以及在管理与决策中的支撑作用。这使得一些学生对本课程的重要性认识不足，对抽象理论概念的认识不清晰，进而产生厌学情绪，不利于本课程教学的顺利开展。因此，如何有效地把握课程内容，合理地组织课堂教学活动，充分体现本课程的实用价值，提高学生的学习兴趣是本课程教学的核心问题之一。

1 课程教学方法与策略

1.1 由具体现象引入课程内容，激发学生兴趣

作为一门数学基础课程，“概率论与数理统计”包含有大量的抽象理论。而鉴于之前高等数学的抽象性，多数同学认为本课程同样会很单调、枯燥，距离现实生活很远，从而产生消极学习的懈怠情绪。因此，在教学的时候，教师应注重营造宽松的学习氛围，适当降低前期教学内容的复杂程度，给学生一种轻松的感觉[2]。

同时，由于本课程内容所涉及的每一个概念和问题都可以与现实生活的实际现象相关联，因此，可以从具体的实践活动（特别是学生参与过或可参与的活动）出发，逐一对照分析相关概念与具体活动之间的关联性，使学生对抽象概念产生形象化的感知，从而加深对相关概念定义的理解，为进一步学习建立在这些概念定义之上的定理奠定良好的基础。如在介绍样本、样本空间和频率的概念时，可以类比掷硬币的活动。由于硬币最终的面向是具有随机性，因此硬币抛掷一次即为一次“随机试验”。而每一次抛掷（随机试验）所得到的结果即为随机试验的一个“样本”，所有可能出现的结果（如，正面和反面）就构成了该试验的“样本空间”；接着，通过将记录中各个样本（正面或反面）出现次数除以总的抛掷次数，即得到各个样本出现的“频率”；最后，通过利用“样本空间”的子集来描述“随机事件”（如，硬币正面向上这个事件），实现对事件发生频率的计算。

1.2 以递进方式分析事例，引导学生思考

在概率论与数理统计中，为了更有效地利用现有的理论进行推导，往往需要将具体的事件符号化（如，随机变量的引入）。然后，利用一些抽象的定理来计算或挖掘具体现象活动的特性。因此，定理的学习是本课程教学的主要内容之一。然而，由于没有形象化的感知体会，学生在学习定理时会感到很吃力，往往只是对定理进行简单的记忆，并没有真正了解定理所揭示的现实物理意义。而在面对相应的实际问题时，学生往往不知所措，无法将记忆中的定理应用到实际问题的求解过程中。因此，教师在讲解具体定理和定义的时候，不仅要从具体的事例出发，层层递进，逐步引导学生的思维向将要讲解的定理或定义上靠拢[3]；还要适当地回到具体事例中，让学生自动建立事例现象与定理应用之间的关联性。如在讲解贝叶斯公式时，可以以两个都装有苹果和桔子的袋子为例：A袋子有mA个苹果和nA个桔子，B袋子有mB个苹果和nB个桔子，若选择A袋，则取出一个水果为苹果的概率是多少？若假设两个袋子没有任何区別，那么从中取得桔子的概率是多少？若取得的水果是桔子，则该水果是从B袋中取得的概率是多少？显然，第一问需要求解一般性的条件概率，第二个问是在第一问的基础上利用全概率公式求解，第三问则需要使用前两问的结果，通过贝叶斯公式公式进行计算。虽然前两问并不是利用贝叶斯公式求解，但经过这样逐层地求解操作，学生可以了解贝叶斯公式的知识基础是什么，公式使用中需要哪些要素。同时，在计算完成之后，再返回到例子，结合贝叶斯公式的使用过程分析一下使用该公式求解的具体问题应具有什么样的特性，进而加深学生对定理公式的理解。endprint

1.3 对照事例讲解概念，加深学生理解

概念作为知识的基石，是知识构成的重要组成要素。因此，教师在讲解每一个知识点时，应着重把基本的概念讲解清楚、讲透彻。对于“概率论与数理统计”来说，它的基本概念往往比较抽象，具有很大的外延性。因此，如何让学生理解相关概念的本质是该课程教学的核心内容之一。鉴于概率论与数理统计对于现实生活现象和人类活动的紧密联系，教师可以利用具体事例进行解释，通过同一事例的不同角度分析，强调相关概念的多样化表现形式。如以“一次抛掷两颗骰子，求得到的两个骰子正面的点数之和为偶数的概率”为例来讲解样本、样本空间的概念。显然，如果以两颗骰子一次抛掷点数来定义样本，则其样本空间为 ={}，样本容量为36，故点数之和为偶数的概率为18/36=1/2。如果以每个骰子点数的奇偶性来定义样本，则相应样本空间为 ={（奇，偶），（奇，奇），（偶，偶），（偶，奇）}，故其点数之和为偶数的概率为2/4=1/2。从上述例子，学生可以明白样本定义的重要性。随着样本定义的不同，其所对应的样本空间也不同，求解时所采用的方法也会不同。

1.4 利用对比关联前后知识，建立知识体系

在“概率论与数理统计”的学习过程中，多数学生只是简单地按照讲课进度来安排自己的学习内容。对于已经讲过但没有深刻理解的知识内容，他们很少会主动回顾复习。显然，如何在以当堂内容讲解为主的前提下，让学生积极主动地去复习之前所学的内容，是本课程教师应该注意的问题之一。因此，教师在安排讲课内容时应当适当安排有关前后知识点关联性的内容，即在讲解某一知识点时，不应只着眼于当堂知识点内容的讲授，而应适当地跳出本节课所关注的内容，从本课程整体知识系的角度分析当堂内容与之前所讲授内容之间的关系和异同点。[4]这样，不仅可以提醒学生及时回顾之前所学知识，还可以帮助学生主动去构建关于已讲授内容的知识网络，强化学生对本课程的理解。如，在讲解“二元概率分布”时，通过回顾“一元概率分布”的特性及内容，强化学生对概率密度函数、概率分布函数等内容的理解，同时，通过回顾“随机事件”和“条件概率”的内容，强化学生对“条件概率”计算方法、“独立性”条件等内容的理解。这样，通过教师上课过程的知识回顾与对比分析，不断强化学生自己所搭建的知识网络，不仅可以加深学生对课程内容的理解和记忆程度，还能有效降低学生学期末的复习强度。

1.5 重视定理、定义的分析及证明演示

作为数学类的基础课程之一，“概率论与数理统计”涉及了很多定理，而这些定理是对现实世界客观规律的一种抽象描述。它与本课程的基本概念之间存在着非常严谨的逻辑关系，即，多数定理可利用一定的概念和相应的逻辑推导过程进行证明。通常，学生在学习定理的时候，往往只是简单地进行记忆，对定理中所涉及的逻辑性理解不清楚。这就导致了学生在解决问题时，不知道该如何使用定理。因此，教师在讲授定理类的知识时，应尽可能详细地给出相应的推导过程，并进行分析说明。这样，可以使学生更清晰地理解定理的由来及使用条件，加深对定理的理解，从而培养学生的逻辑思维能力。同时，在证明的过程中，或多或少会涉及到一些基本知识点，因此利用定理的推导过程可以强化学生对这些知识点的理解与掌握。

1.6 利用课堂翻转进行习题讲解，强化学生理解

由于课堂教学时间的有限性，教师不可能列举很多相关的事例进行分析说明。因此，课后的习题演练是非常重要的。然而，一些学生由于课业任务量大，对于课后习题不重视，往往不经过认真思考，直接参考相关书籍进行解答。这严重阻碍了学生对相关内容的理解。因此，在本课程教学中适当地安排一些习题课是非常重要的。在习题课上，教师不仅要对习题中的难点进行讲解，也要适时让学生展示自己对问题求解的能力。如，在习题课上，教师先把学生所遇到的难题进行讲解。当学生理解明白后，可以采用课堂翻转方式，要求学生对同类型难度适宜的题目进行上台求解演示，进而加强学生对相关知识的理解。同时，教師在讲解问题时，应注意问题求解的多样性，恰当地利用不同角度的分析向学生展示数学的严谨性和多彩性，提高学生的学习兴趣。

2 结束语

“概率论与数理统计”作为大学本科的必修数学课程之一，不仅具有很强的理论性，也是一门与现实生活紧密联系的课程。因此，在本课程的教学过程时，教师应注重基本概念的讲解，以具体事例的分析为基础，以问题引导学生的思维，通过不同概念之间的对比分析，帮助学生构建本课程体系的知识网络。此外，教师也要注重教学内容的习题讲解环节，充分调动学生的积极性，把握好学生的探索心理，发挥学生的主观能动性，为本课程教学的顺利进行，课程教学质量的提升提供助力。

参考文献

[1] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].高等教育出版社（第四版），2015.

[2] 张迪，秦丽娟，牛雪娜，赵有益.概率论与数理统计教学方法的探索[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2013（27）.

[3] 刘洋，张国辉，徐伟，赵鹏辉，李兆兴.工科概率论与数理统计教学方法探究[J].牡丹江师范学院学报（自然科学版），2013（4）.

[4] 肖波，邓华玲，吴秋峰.概率论与数理统计教学方法的几点探索[J].黑龙江科技信息，2012（24）.endprint