刍议高中数学中的立体几何解题技巧

孙瑜格

摘 要：数学学习中的立体几何模块，是一个很重要的模块，它考验着学生的空间想象能力与逻辑论证能力的结合，也是高考中必出现的一类题目。立体几何的解题技巧有好几种方式，都需要我们在解题前先掌握好立体几何解题的基本原理，只有掌握了原理，才能够自由的运用和转化，面对更复杂的题目都能熟练利用原理和解题技巧来解决。

关键词：立体几何；解题技巧

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-171-02

想要学好高中数学的立体几何，关键在于要有比较好的空间想象能力，能够建立起立体模型的概念，能够将立体转化为平面，运用基础的平面原理来解题，立体几何在高中数学来说是一个非常重要的板块，高考中必出一道答题，所以在高中数学中学好立体几何还是很重要的。

一、解题技巧

在立体几何的解题中，蕴含着一些比较潜层的技巧，这些技巧在平常的课堂中老师教授的较少，但是在实际解题的过程中却会大量运用。

1、巧设辅助

在立体几何题目中，有许多同学对于题目的理解仅限于题目中给出的图形这样是不够的，题目会有一些隐藏着的解题步骤，需要我们在思考论证中找出来，其中辅助线就是一种。

构造辅助线是立体结合中比较常用的方法，有一些题目在构造了辅助线后，使题目更清晰，更有条理性。例如下面这题。

如图，四边形ABCD是正方形，PB⊥平面ABCD，MA//PB，PB=AB=2MA，

（Ⅰ）证明：AC//平面PMD；

（Ⅱ）求直线BD与平面PCD所成的角的大小；

（Ⅲ）求平面PMD与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小。

（Ⅰ）证明：如图1，取PD的中点E，连EO，EM。

∵EO//PB，EO= 1/2PB，MA//PB，MA=1/2 PB，

∴EO//MA，且EO=MA

∴四边形MAOE是平行四边形，

∴ME//AC 。

又∵AC平面PMD，ME平面PMD，

∴AC//平面PMD 。

（Ⅱ）如图1，PB⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PB。

又∵CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC。

∵CD平面PCD，

∴平面PBC⊥平面PCD。

过B作BF⊥PC于F，则BF⊥平面PDC，连DF，则DF为BD在平面PCD上的射影。

∴∠BDF是直线BD与平面PDC所成的角。

不妨设AB=2，则在Rt△BFD中，BDBF1/2，

∴∠BDF=π/6

∴直线BD与平面PCD所成的角是π/6

在这题中，恰当的选择了中点，证明了ME与AC的平行，又运用线面平行的原理证明了AC、ME都平行于PMD，从而得出了结论。

2、变化图形，注意运动变化

立体图形中，像是求最值、轨道分析、运动变化等问题，都是比较难的立体图形问题，同学们在解答中需要转换思路来解答，以便更好更快地获得答案。像下面这道题。

其实在立体已知如图等腰△ABC中AB=AC=13、BC=12，DE∥BC.分别交AB和AC于DE.将△ADE沿DE折起使得A到A′，且A′-DE-B为60°二面角.求A′到直线BC的最小距离。

解：取BC的中点O，连AO交DE于O′.

∵AB=AC，∴AO⊥BC，

∴AO′⊥DE，连A′O′，则A′O′⊥DE，

∴DE⊥面A′O′O，∵DE∥BC，

∴BC⊥面A′O′O，

∴BC⊥A′O，故A′O为A′到BC的距离，

且∠A′O′O为二面角A′-DE-B的平面角，

∴∠A′O′O=60°.设AO′=A′O′=x，

∵AB=AC=13，BC=10，

∴AO=12，O′O=12

像這道题中，要先解决的是A′到BC的距离，还要注意这个距离不是固定的是与DE的位置有关系，所以A到DE的距离函数也是A′到BC的距离，像这种题目立体几何中还是还常见的，求解中一定要注意函数的运用，函数的运用还是化难为简，切不可用复杂的函数公式来增加题目的难度[1]。

3、设立合适的参数

在几何图形中，一般都是通过既定的已知量来推导未知量，但是经常已知量和未知量之间存在着一些未知的关系影响我们解题的判断，我们在解题中可以设定一些未知数来建立二者之间的关系，特别是在一些复杂的立体几何问题中，有一些条件你想知却又未可得时，可以设立一些合适的参数，但是这个参数并不需要解出，只需要通过这个未知参数区解开题目中要求的问题即可，参数并不是重点，在解题中切勿混淆这个概念，以免增加题目的难度[2]。

在立体几何的求解中，可能会经常遇到类似的情况，例如给出的线段长度是a，不需要具体的数字，也无需求出a是多少，以字母代替更加快能得出答案。

二、其他解题方法

1、立足课本，夯实基础

其实说道底这些技巧的运用，离不开的就是定理和基础内容的掌握，基础内容包括立体几何中的构成基础，直线、平面等内容，如果想要掌握立体几何的解题技巧，就必须要学好这两大板块，尤其是一些关键的证明公式：三垂线定理、面积射影公式、“立平斜关系式”、最小角定理、各种立体图形面积、体积的计算公式。学好点与点、线与线、面与面之间的关系。在学定理的时候，如果对于图形想象不出一个具体的画面，可以借助一些工具，例如书、直尺，或者在生活中多观察一些多边体、不规则的图形，使徒行具象化也有利于自己对定理的学习。

2、提高空间的想象力

其实在生活中，存在着许多的不规则题，而我们学习立体图形最终还是要回到生活中，通过书本的知识解决生活中的问题。一些同学对于立体图形平面空间到立体的想象力不够，可以通过对在生活中对立体图形进行观察、揣摩，并且判断图形点线面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，一步一步的加强自己空间想象能力，多积累、多观察、多想象，更好的提高自己的空间想象力，学会变换和画图，用定理来推断论证，也是一个不错的方法。

三、结束语

高中数学中立体几何的内容主要还是要掌握解题的八大定理，还要提高自己空间想象能力，才能更好在立体几何的解题中运用这些技巧，此外，还要有意识的培养自己的逻辑论证能力，在立体几何的解题中，如果没有掌握好解题的逻辑顺序，解题过程就会比较混乱，从而得不出结果。总之，立体几何解题技巧很多，但解题时要先掌握原理，并且培养好自己的解题思维，才能解出更复杂的题目。

参考文献：

[1] 吉缪明. 高中数学中的立体几何解题技巧[J]. 数理化解题研究，2017，（19）

[2] 江士彦. 刍议高中数学中的立体几何解题技巧[J]. 读与写（教育教学刊），2015，12（11）endprint