一元二次方程错解分析

莫娟桂

摘 要：一元二次方程是九年级上册的内容，也是高中继续学习的重要内容之一。学生在学习一元二次方程时由于概念不清、方法掌握得不够扎实，经常会出现一些解法典型的错误，本文列举了本人在实际课堂教学中遇到的学生经常出现的解一元二次方程的错误，分析了产生这些错误的原因及其正确的解法。

关键词：一元二次方程；错解分析

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2017）05-096-02

一元二次方程是九年级上册数学重要的知识，在初中数学中占有重要地位，是中考熱点之一，也是进入高中后继续学习的重要知识。一元二次方程的重点和关键是一元二次方程的解法。其中直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程常用的四种方法。学生在解题时稍有不慎就会出现错误，下面就本人在平时的课堂教学中遇到的学生解一元二次方程常见错误作如下分析。

首先，解一元二次方程，应该根据题目的特点从四种方法中选择合适的方法，但是不论选择哪一种方法，都需要注意它们各自的步骤特点，否则就会出现错误，下面本人特收集部分题型加以归类分析：

一、对于形如x = p （p≥0） ； （mx+n） = p （p≥0） 的方程用直接开平方法解较好。

用直接开平方法解二元一次方程常出现的错误是：当对方程两边开平方时，学生往往忘记在常数的那边取 号，从而把负根漏掉，易错。

例1解方程x =16，

错解：x=4

错解分析：学生对平方根、算术平方根、直接开平方法的概念掌握得不清楚。

正解：x= 4

二、配方法主要是将方程一边配成完全平方公式，另一边能写成某个数的平方进行计算。利用配方法解一元二次方程常出现以下几种错误：

1、用配方法解一元二次方程时，二次项系数未化为1，就进行配方而引起解题错误。

例2、用配方法解方程： 。

错解：移项，得 ，所以

因为 ，所以 ，所以 ，

所以 ，

错解分析：以上错解的原因是学生没有掌握用配方法解一元二次方程首先必须将方程的二次项系数化为1，然后才能配方这一步骤，而导致结果错误。在解题过程中应该严格按照配方法的解题步骤进行，切记要先将二次项系数化为1。

正解：移项，得 ，方程两边都除以4，得 ，配方，得 ，即 ，

所以 ，即 =

2、配方的概念掌握不牢，配方不当引起错误。

例3、解方程 x ﹣4x-4=0

错解：移项，得x -4x=4

配方，得 x -4x+2 =4-2 ， 即（x-2） = 0

解得x =x =2

错解分析：运用配方法解一元二次方程时，学生由于粗心大意或解题时不够专心等原因，常常容易犯的错误是方程一边加上了一次项系数的一半的平方，而另一边却忘了加或加错，导致解题错误。

所以用配方法解一元二次方程时，要正确理解配方的实质及配方的具体步骤，避免配方不当引起错误。

正解：移项，得x - 4x = 4

所以x -4x+2 = 4+2

（x-2） = 8

解得x =2+ 2 x =2-2

三、公式法是解一元二次方程的万能方法，任何一个一元二次方程都可以用公式法来解。学生运用公式法解一元二次方程时常犯以下几种错误：

1、利用公式法解题时，不将一元二次方程转化为ax +bx+c=0（a≠0）的形式，就乱套用求根公式。

例4、用公式法解方程； 。

错解：∵a=3，b=6，c=1， ，

∴ ，即 ， 。

错解分析：以上解题错因是学生没能正确理解一元二次方程的一般形式ax +bx+c=0（a≠0）中a、b、c的值是怎么确定的，导致运用公式法解一元二次方程时，没有先将一元二次方程转化成一般形式，就乱确定a、b、c的值而引起的错误。这一点如果学生没有理解，乱套入公式，解方程就会产生错误。

正解：把方程化为一般形式，得 ，

∵a=3，b=6，c=-1， ，

∴ 即 ，

2、将a、b、c的值代入公式时，由于粗心大意忘记负号，从而导致最终结果出错。

例5、解方程 5x2-4x-1=0

错解： ∵ a=5 b=-4 c=-1

b2-4ac=（-4）2-4×5×（-1）

=36>0

∴ ∴ x1= x2=-1

错解分析：解题时没能养成认真、细心的习惯，粗心大意引起的错误。

正解：∵ a=5 b=-4 c=-1

b2-4ac=（-4）2-4×5×（-1）

=36>0

∴

∴ x1 =1 x2 =

四、因式分解法是最简便的方法，也是在高中的学习中用得最广泛的方法。但学生在用因式分解法解某些一元二次方程时，错误使用等式的性质而引起丢根现象。

例6、用因式分解法解方程 。

错解：将方程右边分解因式，得 ，方程两边同除以 ，得 ，解得 。

错解分析：上述错解原因是学生对等式的性质“等式两边同乘以或者同除以一个不为0的整式，等式仍然成立”。这一性质不记得或不理解而造成的。上例错解过程中方程两边都除以 ，但是 的值可能为0。因此，这种计算方法会产生丢根的现象，导致解题出错。

正解：将方程右边分解因式，得 ，

移项，得 ，

提公因式，得 ，

即 ， 或

以上是本人结合自己多年课堂教学的实际，就解一元二次方程出现的常见错误，并对导致错误的原因进行分析，希望通过上述的归类浅析能培养学生思维的严谨性和敏捷性，帮助学生提高解一元二次方程能力，使学生能迅速、准确地解一元二次方程。

参考文献

[1] 义务教育数学教科书 九年级上册 人民教育出版社2011年版

[2] 《数理化解题研究（初中版）》 2014年06期

[3] 《中学课程辅导（教学研究）》 2015年36期endprint