浅谈绝对值概念教学的几个阶段

郭芳丽

【内容摘要】本文围绕绝对值概念在中学阶段的教学进行了深入细致的研讨，从不同层次、不同角度提出了不同要求，这对学生理解掌握绝对值概念，应用它解决数学问题，体会其中的数学思想方法都有非常重要的作用。

【关键词】绝对值 数学 中学阶段 距离

绝对值是中学数学中最基本的概念之一，绝对值概念的教学贯穿于整个中学数学的各个阶段。从初中七年级“有理数”开始引入，到八年级“算术平方根”的应用，直到高中数学中的“距离”、“向量的大小”、“复数的模”逐年展开，逐步深化。绝对值概念是初高中数学的一个重要衔接点，在教学中，可以分为以下几个阶段。

一、数的绝对值

在初中七年级上册第二章有理数及其运算第三节，首次借助数轴给出了绝对值的确切定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫作这个数的绝对值[1]。进而结合实例归纳得出一个数的绝对值与这个数的关系：正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0[2]。这一阶段的教学目的是要求学生会求具体数的绝对值，能借助数轴直观理解绝对值的几何意义，从数形两个方面初步建立了绝对值的概念，认真领会数形结合的思想方法。

二、式的绝对值

在初中七年级上册第三章整式及其加减中，随着用字母表示数

的出现，提出对|a|的讨论：|a|=a （a>0）

0 （a=0）

-a（a<0）

实现了绝对值概念的第一次深化[1]。即将数的绝对值扩展到式的绝对值，使绝对值概念符号化、抽象化。这一阶段的教学目的是要求学生：明确字母a表示有理数，|a|表示非负数，即|a|≥0;其次会“脱掉”绝对值符号，要学会对a的取值进行分类讨论，初步掌握分类讨论的数学思想方法。

三、算术平方根的性质a2=|a|

本节知识点在初中八年级（上册）第二章实数第二节平方根中，通过算术平方根的教学，再次深化了绝对值概念。并将有理数的绝对值扩展到实数的绝对值，用非负数把一个数的绝对值与一个数的算术平方根统一起来，把根式的化简转化为求绝对值，从中体会转化思想的应用。这一阶段的教学目的明确a2=|a|这一结论，加深对绝对值概念的理解，使算术平方根的求值化简有了新的突破。例如：（-5）2=|-5|=5，

（a-π）2=|a-π|=a-π（a>π）

0

（a=π）

π-a（a<π）

四、距离

本节安排在高中数学必修2第二章解析几何初步中。教学中通过数轴上两点间的距离公式，研究了平面内两点间的距离公式以及空间两点间的距离公式，进一步从三个维度-直线、平面、空间深化了绝对值概念的几何意义：距离。这一阶段的教学目的是要求学生会求空间两点间的距离;能利用绝对值的几何意义解决有关含绝对值的方程、含绝对值的不等式，研究含绝对值的函数等问题，使绝对值概念得到广泛深入的应用，再次体现了数形结合思想的作用。

五、向量的模（绝对值）

高中数学必修4第二章平面向量中学习了向量的概念。在数学中，把既有大小又有方向的量称为向量，向量可用有向线段来表示，向量的大小就是有向线段的长度，称为向量的模[5]。通过教学，将求实数的绝对值扩展到求向量的绝对值，实现了从数量到向量的深化。

六、复数的模（绝对值）

在高中数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入中学习了复数的概念，通过复数模的教学，将求实数的绝对值扩展到求复数的绝对值。这一阶段的教学目的是要求学生会求复数z=a+bi（a，b∈R）的模|z|=|a+bi|=a2+b2;理解复数模的几何意义，即：复数z=a+bi与复平面内的点Z（a，b）以及向量OZ→=（a，b）是一一对应的，复数Z的模就是向量OZ→的模，就是点Z到原点的距离[6]。进而将实数的绝对值、向量的绝对值以及复数的绝对值通过“距离”有机地融合在一起，让绝对值概念的教学在这一阶段实现了真正意义上的完善。

绝对值概念的教学，既要体现它抽象的代数意义：化简、求值、非负性;又要体现它直观的几何意义：距离、大小、应用性;既要把握中学不同阶段，不同层次的教学要求，还要注重它在数学各个领域的综合应用，這样在中学阶段对绝对值概念的学习就画上了完满的句号。

【参考文献】

[1]汪慎洲.深化绝对值概念教学的五个层次[J].中学数学杂志， 1988（第一期）：2.

[2]义务教育教科书

.数学（七年级上册）[M]. 北京师范大学出版社.

[3] 义务教育教科书.数学（八年级上册）[M]. 北京师范大学出版社.

[4]普通高中课程标准实验教科书.数学（必修2）[M].北京师范大学出版社.

[5]普通高中课程标准实验教科书.数学（必修4）[M].北京师范大学出版社.

[6]普通高中课程标准实验教科书.数学（选修2-2）[M].北京师范大学出版社.

（作者单位：咸阳师范学院附属中学）