应用插空法妙解排列组合问题

袁炜

[摘 要]解题方法的正确选用是解答数学题目的有力保障.应用“插空法”能巧妙解答排列组合所涉及的数字问题、顺序问题和“关灯问题”.

[关键词]插空法；排列组合；高中数学

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号] 16746058（2017）35002101

高中数学教学中，排列组合问题占有较大的比例，是高考的必考内容，也是高中数学教与学的难点.如何巧妙地解答排列组合问题，成为高中数学教师研究的内容.针对不同的排列组合问题，选用恰当的解题方法，可以快速、准确地解答.笔者将结合自身多年的教学经验，探讨插空法在排列组合问题中的巧妙应用.

一、数字问题

学生在解答排列组合问题时，常会遇到数字排列的问题.若是两三位数字的排列组合，学生可以采用简单的列举法计算排列的种类.但当题设条件中的位数较多，且插入较多的约束条件后，排列组合的难度就有所提升.此时，高中数学教师可以引导学生采用插空法解决此类问题.

比如，有这样一道数字问题的习题：把1、2、3、4、5组成没有重复的五位数，且1、2两个数字不能相邻，问有多少种不同的排列方法？这是一道涉及五位数的数字排列组合问题.若是采用单独的列举方法进行解答，不仅解答过程繁复，也容易出错.这时，我引导学生采用插空法进行思考，应用相应的定理进行解答.题目中要求1、2这两个数字不能相邻，因此我们便可以将3、4、5先进行排列，采用1、2插空的方法进行解答.排列3、4、5这三个元素，共有A33种排法，形成4个空位，再将1、2两个元素插入四个空位，共有A24种排法.再用乘法原理可得：

A33×A24=72.

可见，本题中的排列方法共有72种.

针对此类数字排列问题，若采用插空法对有特殊要求的元素进行插空，可以帮助学生有效地厘清解题思路，快速、准确地解答问题.学生掌握了用插空法解决这一数字问题后，同类的问题都可采用此方法进行解答.

二、顺序问题

解答排列组合问题会遇到许多有关顺序的问题.采用插空法解决此类问题时，需将题设条件中的先后顺序厘清.先排列组合无特殊要求的元素，再将有特殊要求的元素进行排列，最终采用乘法原理加以解答.比如，“节目单排序”问题就是一道典型的顺序问题.已知，在现有的节目单中有6个节目，想要再添加3个新的节目到节目单中，要求节目单中原有的节目顺序不变，那么添加节目的方法有多少种？此题中要求原有的6个节目顺序不变，并在此基础上，添加3个节目，是典型的顺序问题.解答此类问题可以选择顺序插空法.原有的6个节目顺序不变，共形成7个空位，先将要加入的一个节目进行插空，共有A17种.此时7個节目形成了8个空位，要加入的第2个节目插空，共用A18种方法.同理，第3个节目插空时，方法就有A19种.此时，再进一步采用乘法定理进行计算，可得

A17×A18×A19=504.

可见，此顺序问题共有504种排列组合方法.

针对此类顺序问题，教师引导学生选用顺序插空法进行解答时，可以将这一题目分成三个层面，让学生一层一层地进行思考和解答，从而提升解题准确率.

三、关灯问题

排列组合问题中还会涉及“关灯问题”的解答.此类问题若直接解答，难度较大.但也不能够直接套用插空法.在遇到此类问题时，教师应当引导学生仔细分析题目中的内容，并根据题目中的内容，合理地运用插空法加以解答.

比如，有这样一道习题：一条马路上有编号1、2、3、4、5、6、7、8、9共九盏路灯，现在为了节省用电，要求将九盏路灯中的三盏关掉，为不使路面太黑，要求相邻的两盏或三盏灯不可同时关掉，问可以有多少种不同的关灯方法？显然，若是直接采用插入法进行解答是不可行的.此时，就要求学生能够转换思路，从反面思考.题目中共九盏路灯，灭了三盏，则还有六盏灯亮着，那么我们可以将亮着的六盏路灯作为不可变的元素，用三盏灭了的路灯去插空，六盏路灯共形成7个空位，得C37=35.

通过转换思路，将关灯问题转换成插空问题，则此类问题可以得到快速解决.而转换思路运用插空法，在排列组合问题中也适用于更多的题型.

总的来说，插空法在排列组合问题中的应用广泛，不仅仅是数字问题、顺序问题和“关灯问题”适用这一方法，“停车问题”“座位问题”等也都适用.因此，教师在教学时，应当引导学生活学活用，而不是一味地套用.只有全面地理解了使用方法，学生在解答此类问题时才能融会贯通.

[ 参 考 文 献 ]

[1]陈彪.插空法解排列组合问题探讨[J].中学课程辅导，2013（25）.

[2]王延胜.高中数学教学方法探析[J].中学教育，2016（3）.endprint