融会贯通，形成思想，欣赏数学——期末复习课的教学实践及反思

☉浙江台州市白云中学 张安军

☉浙江台州市教育局教育室 蒋荣清

前段时间，笔者应四校联盟邀请，开设一节期末复习公开课，复习的内容是人教版教材七年级（上）第二章“整式的加减”，开课对象是七年级学生，开课时间是该班学生本学期新授课内容刚好结束，此时离期末考试还有三周左右.复习的形式是多样的，依据学生学习的阶段性，初中数学复习课可分为单元复习课、章节复习课、期末复习课、学段复习课等.接到这一课题，笔者思忖着，期末复习课和单元复习课、章节复习课有何不同？期末复习课的价值和作用是什么？如何有效开设期末复习课？带着这些问题进行思考，并执教了“整式的加减”的期末复习课，课后得到听课同行们的好评.本文先呈现该课的教学设计，并记录教学生成的片段，进一步给出教后反思，供研讨.

一、教学设计

活动1：整体构建，融会贯通.

例1 计算：（1）3×（-2）2×（-5）-2×（-2）×（-5）-2×（-2）2×（-5）+3×（-2）×（-5）；

（2）3a2b-2ab-2a2b+3ab.

预设意图：（1）式是具体的有理数运算，其计算结果是一个有理数；（2）中的算式是整式的加减运算，若把（1）中的数（-2）和（-5）分别用字母a、b替代，就可得到（2）中的算式，可见（2）中的算式是（1）中具体数运算的一般化.

把具体的数推广到更一般的数，用字母表示数，是人类认识史和数学史上一次大飞跃，字母、字母和字母组成的式子本质上也是一种数，有理数有加、减、乘、除、乘方和开方运算.数式通性，类比有理数，整式不仅有加、减运算，也有乘、除、乘方和开方运算，让学生感受到数式通性，从有理数的各种运算推广到整式的各种运算，加强各章节知识之间的联系，使所学知识条理化和系统化，接着以（2）式为背景设计本章相关概念的练习.

练习：

（1）说出单项式-2ab2的系数与次数，你是如何确定单项式的次数的？

（2）说出多项式3a2b-2ab-2a2b+3ab的次数与项数，多项式的次数是如何确定的？

（3）在多项式3a2b-2ab-2a2b+3ab中有同类项吗？如何判定同类项？

（4）计算：①3a2-2a-a2-6a；

②-a+3（a-b）-4（a-2b）；

③先化简，再求值：5（3a2b-ab2）-（ab2+3a2b），其中a＝0.5，b＝-1.

（5）能说说（4）中运算的依据吗？得到哪些运算法则？这些法则体现数学中哪些思想？

预设意图：对先前所学的单项式、多项式的系数、次数等相关知识进行回顾，由于学习这些概念相隔时间长，容易遗忘，因此先让学生回顾单项式、多项式、整式等相关概念，再把分散的知识点建立成简约的知识体系.由于单元（章节）复习课中是按先后所学的顺序或章节的整体性建立相关的知识体系，对各章节知识点之间没有建立横向的联系，这些概念在这本学期所学教材中的地位、作用未必能揭示清楚，通过期末复习，加强各章节知识整体联系.例如，学生做完练习（4）后，追问：“合并同类项法则和去括号法则”的依据是什么？为什么这两个法则能统一到更简单、更本质的原理———数系运算的分配律水平上？这是因为整式是具体数的抽象，整式加减的运算本质上是字母表示数和运算律，这样学生甚至不用记忆合并同类项法则和去括号法则，只要在数或字母运算中应用运算律，就可以自如地进行整式的加减运算.让学生体会到数式通性，有理数和整式之间建立起有机联系.

图1

活动2：提炼经验，形成思想.

例2 如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫作“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所以64746是“和谐数”.

（1）试判断33、121、2233是不是“和谐数”.

（2）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由.

（3）已知一个四位“和谐数”个位数字比十位数字大3，且和谐数的四个数字之和是11的倍数，请写出这个四位“和谐数”.

（4）试判断：任意一个三位“和谐数”一定被11整除吗？若一定是，请说明理由；若不一定是，请探索个位数字和十位数字应满足什么条件，才能使三位“和谐数”一定被11整除.

预设意图：先定义了什么是“和谐数”，第（1）问先给出具体的一位数、二位数、三位数、四位数，试判断它们是否是“和谐数”，考查对阅读材料的理解；第（2）问在第（1）问的基础上，当学生理解“和谐数”后，对四位“和谐数”进行性质的探究，从特例到归纳，从归纳到猜想，再从猜想到理性的验证，凸显字母表示数更具一般性；第（3）问具体的一个四位“和谐数”满足一定的条件，求出这样的一个四位“和谐数”，实际上用字母表示数，列出式子寻求等量关系，体会方程思想；第（4）问对三位“和谐数”是否被11整除展开研究，列式用字母表示这样三位“和谐数”，然后构建等量关系，让学生感受所谓“方程就是未知数和已知数之间建立一种等量关系，未知数无非就是一个字母，用这个字母表示问题中相关的量，而解方程就是将未知还原出来”［1］.让方程不再神秘化，从具体的数到字母，再用字母列式表示数量关系，各数量关系之间的相等关系即方程，让学生形成如图2所示的一个整体性的知识，从而形成本章最核心的思想“从具体数到字母表示的一般数的抽象思想”.

图2

活动3：欣赏意境，彰显字母魅力.

例3 假如有一根很长的绳紧贴地球表面，绕赤道一周，然后把紧贴的绳子增加20m，这时绳子与地球赤道之间会有缝隙（假设各处缝隙是均匀的），下面四个估计最接近缝隙的高度的是（ ）

A.一张纸的厚度 B.数学书本的宽度

C.学生课桌的高度 D.篮球架的高度

预设意图：通过这一问题的解决，让学生发现直觉、经验有时和实际相距甚大，用字母表示数，列式计算求得缝隙的高度，从而让学生体验到数学的奇异美.

例4 求证：所有大于11的整数一定可以表示成两个合数之和.

预设意图：先回顾什么是合数及什么是质数，由于这个问题的起点比较高，所以可以让学生将大于11的整数表示为两个正整数之和，例如，12＝1+11＝2+10＝3+9＝4+8＝5+7＝6+6，13＝1+12＝2+11＝3+10=4+9＝5+8＝6+7，等等，进行枚举，从有限个大于11的整数中归纳共性并进行猜想，即“大于11的偶数都可以表示成2对或2对以上合数之和，且在每一对中总含有合数4或6；大于11的奇数只有一对合数之和，且这对合数中总有一个合数9”，这个猜想对于所有大于11的整数都成立吗？引导学生在一般层面对猜想加以验证，发展学生从特殊到一般、从具体到抽象的思维，用归纳推理提出和发现问题，用演绎推理验证猜想.

无独有偶，在数学史上也有类似的命题“任一大于6的偶数都可写成两个质数之和”，这个命题就是著名的“哥德巴赫猜想”，哥德巴赫（1690年—1764年）是德国数学家，他发现了这个有趣的命题，由于这个命题看似简单，但他又无法证明，于是在1742年哥德巴赫写信向大数学家欧拉求教，欧拉终其一生也未能解决这个问题，此后这个问题就成为数学史上悬而未决的问题之一.1900年，大数学家希尔伯特在法国巴黎数学家大会中提出23个重要问题，其中“哥德巴赫猜想”又成为23个重要问题之一.在解决这个问题漫长的历史过程中，数学家们前仆后继，最终虽未取得圆满解决，但也取得局部性的突破，中国数学家陈景润在前人的基础上，证明了“任一充分大的偶数都可以表示成1个素数及一个不超过2个素数的乘积之和”，简称“1+2”.

预设：在学生证明“所有大于11的整数一定可以表示成两个合数之和”后追问，你们还会提出什么问题？此时，教师出示：“8＝3+5，10＝3+7，12＝5+7，14＝11+3，…”，让学生归纳共性，提出猜想，然后介绍这一猜想就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”，激发学生对数学学习的兴趣和热爱的情怀，同时在幼小心灵中播下数学家的种子.

二、课堂生成

生成片段1：（活动1中练习5环节）.

师：计算整式加减，如“3a2b-2ab-2a2b+3ab和-a+3（a-b）-4（a-2b）”的依据是什么？

生：（众）合并同类项和去括号法则.

师：那么合并同类项和去括号法则的依据又是什么？

（大家停顿片刻）

生1：根据分配律.

师：乘法对加法的分配律适用于数系运算，以字母符号组成的整式加减运算为什么也适合分配律呢？

生2：字母是一般的数，本质上也是数.

师：数是字母的特殊化，字母是数的一般化，类比数的运算，整式还要研究哪些运算？

生：（众）整式的乘、除、乘方运算.

生成片段2：（活动2）.

师：请仔细阅读一段有关“和谐数”的材料，而后，同桌为一组，其中一个任意说出一个数，另一个判断是否为和谐数.

（学生激烈交流后）

师：下面给出几个数：“33，121，2233”，是“和谐数”吗？为什么？

生：（众）2233不是“和谐数”.

师：你们能交换数字的位置，使它变成“和谐数”吗？

生4：2332.

生5：3223.

师：还有吗？

生6：3333或2222.

生：（众）不符合题意，题目中要求交换数字的位置.

师：那么3333或2222是不是“和谐数”？

生：（众）是.

师：一位同学发现：2332＝11×212，3223＝11×293，他推测四位“和谐数”都能被11整除.他的推测有道理吗？

（过了几分钟后，一名学生发现了证明，非常激动，等大部分学生都发现证明后，让这名学生回答）

生7：记四位“和谐数”为“abb a”，则abba＝103a+102b+10b+a=1001a+110b=11（91a+10b）.

师：你是怎么想到用字母表示四位“和谐数”的呢？

生7：因为四位“和谐数”的特点是首尾两个数字相同，中间两个数字相同，因此用字母表示才能穷尽所有的四位“和谐数”.

师：对于生7，你们有什么想法？

生8：四位“和谐数”还有一种可能是aaaa，则abba＝1111a＝11×101a.

师：这位同学想问题非常严谨，把四位“和谐数”分两种情形，即abba和aaaa，然后分别加以证明……

生成片段3：（活动3中的例3）.

师：请同学们估计一下贴近地球赤道的绳子增加20m，它们的缝隙高度大约是多少.

（大家议论纷纷，有的说接近针的厚度，有的说1毫米左右，有的说比一张纸的厚度还要小）

生9：大约一张纸的厚度，应选A.

师：还有不同的答案吗？

生10：大约是数学教材的宽度，应选B.

师：说说你们所选答案的依据.

生9：地球的半径这么大，只增加20m的绳子的长度，均匀地分配各处，感觉应很小很小，所以选A.

生10：和生9的想法差不多.

师：你们都是凭感觉得到答案，感觉和经验有时会欺骗我们，你们能验证自己的答案吗？

（这时大部分学生不知从何思考，实际上反映出学生数学建模能力薄弱）

师：你能根据题意画一个草图吗？或者引进一些符号验证自己的答案吗？

生11：假设地球的半径为r，增加的高度为x，那么2π（r+x）-2πr=20，解得x=≈3.18（m）.

师：这位同学把赤道看成一个圆，通过引进符号，设未知数得到一个方程，有根据地得到答案，从中你们有什么启发？

生9：不要太相信自己的感觉.

生12：猜测到的答案还需要验证.

师：数学课需要大胆猜想，更需要谨慎求证，数学答案的得出，要有根据且合乎逻辑.我想，这就是数学给予人理性思维的熏陶……

三、对期末复习课的实践与反思

1.重视构建各章节层次清楚、相互联系的网络，达到融会贯通.

知识的学习过程中，遗忘和保持是同时发生的，为了使知识有序地储存到长时记忆中，减少对所学知识的遗忘，要及时组织学生进行相应复习.复习课有各种形式，日常教学中教师都要开展相应的单元复习课或章节复习课，为什么还要进行期末复习课呢？这是因为章节（单元）复习虽能把某些概念系统化，但是这些概念在章、节乃至整个学期所学教材中的地位、作用未必能揭示清楚，期末复习课和章节（单元）复习课虽有相同的目的和功能，但又有着不同的作用和价值，下面对这两种复习课的异同进行比较（如表1）：

表1

“整式的加减”一章中，教材先类比数，用字母表示数量关系得到单项式，然后给出单项式的次数、系数等相关的概念，单项式和单项式相加减得到多项式，单项式和多项式统称为整式，为了研究整式的运算，引进了同类项和去括号法则，整式有了运算，应用变得更广泛.在章节复习课中可以沿着教材的脉络，梳理各概念之间的关系，构建有序、结构清晰的知识网络，便于学生形成良好的认知结构；期末复习课，在此基础上，需要重新梳理整式加减与有理数、一元一次方程知识之间的联系，使相关知识形成层级清楚、相互联系的网络，从而达到对知识的融会贯通［2］.

2.重视提炼方法，形成数学思想.

数学思想方法是数学的灵魂和核心所在，在期末复习课中需要学生进行特定的认知加工活动，开展这些活动的核心价值是提高认知加工的水平，体会数学思想方法.具体到在“整式的加减”一章中，用字母表示数和列式表示数量关系是后继学习方程、不等式、函数的基础，从具体数到字母表示的一般数体现了数学从特殊到一般的抽象化思想，化整式加减运算为系数加减运算蕴含化归思想.

整式加减运算的基础是合并同类项，而同类项的依据就是分配律，把整式加减运算转化为数系运算的依据是分配律，分配律是数与代数的基础.从数到字母，是具体感性思维上升到一般化的抽象思维，这样具体数的运算拓展到以符号化为体系的代数运算，字母是数的一般化，数是字母的具体化，数和式在这种意义上具有相通性，数不仅有加减运算，还有其他运算，同样整式也有乘、除、乘方、开方等运算，这样整式可以拓展到分式、二次根式等，也可以进一步发展方程、不等式和函数.在整式加减期末复习课中，把分散在教材中的各章节如有理数、方程等用数学思想为线索统一起来.

根据上述分析，本节课以数学思想为主线，展开题组训练，如课的开头先类比有理数的运算，拓展到整式加减运算，以字母符号组成的式子为什么可以运算进行追问，感悟数学类比方法和转化思想.而后创设情境相对复杂的和谐数等问题，通过学生观察、操作、归纳得到猜想，然后用字母表示一般数在一般层面上进行推理验证，发展学生的概括能力、从特殊到一般的抽象化思想.

3.重视数学欣赏，感悟数学之美.

复习课都是对已学知识的温故，学生经历过单元复习和章节复习，在期末复习课时，若选题不新，很难激起学生听课的兴趣，则老师上课费力，学生听课无精打采，效率低下.如同新加坡数学教育家李秉彝先生打了一个比方“……这个跟烧菜一样，我这个厨师几十年就是要用这个材料，没有这个材料怎么能烧得出来？你如果还是用原来材料烧菜，尽管味道很地道，但顾客不喜欢，他们欣赏不了！怎么办？现在是一个选择的问题.一是不改，就被顾客解雇抛弃；另一种，就是改，生存！那你选择哪一个？”本节复习课对同样内容进行老歌新唱，例如，估计地球赤道之间缝隙的高度，理性和经验直觉差距的反差，欣赏数学的奇异美.再如，例4“求证：所有大于11的整数一定可以表示成两个合数之和”，课后一名学生感触非常深，写成一篇文章发表在《中学生数学》上，现摘录部分：“……大于11的整数，列举出12至17，虽然它们都能表示成两个合数之和，有的甚至可以表示2个或3个合数之和，但是，这仅仅是有限个具有这样的特征，而大于11的整数有无限个，用有限的生命去列举，怎么也列举不完，当然举几个例子，肯定不是证明，这时我想到老师在这道题上予以我的启发，必须要用字母表示才能让人心服口服，因为字母可以任意取大于11的整数，你要取多少个就有多少个，用字母对付无限是最好的武器，从中可以看出例子具有特殊性，而字母却具有一般性.具体表现在本题，字母如何展现威力呢？我陷入困境.就当我山穷水尽时，无意在表格中发现规律，大于11的偶数都可以表示成2对或2对以上合数之和，但其中总有合数4和6；奇数只有一对合数之和，且都有一个合数9.把这个想法在大于17的整数中继续验证，都得到同样的结果……”［3］.

要让学生在复习课欣赏到数学美，首先，要了解学生，了解学生对已学过知识的掌握程度（如对那些概念、法则、定理是否清楚，在解题方面有哪些不足等），了解学生学习上的优点及缺点，了解学生的兴趣点是什么；其次，教师要欣赏数学，体验数学之美，这需要一定的数学内涵，要求平常爱读书，包括多看数学科普类书籍，养成看数学教育杂志的习惯，从而积累素材.

1.张安军.发现数学之美［M］.长春：东北师范大学出版社，2013.

2.吴增生.数学基础复习课的内容解析初探［J］.中学教研，2014（1）.

3.张同余.字母的魅力［J］.中学生数学（初中版），2017（3）.