基于MMTD的改进的Bayes软阈值算法

李红丽，马耀锋

(郑州工程技术学院 机电与车辆工程学院,郑州 450044)

图像去噪是数字图像处理中一个非常重要的研究领域[1]，如何兼顾降低图像噪声和保留细节是图像去噪存在的一个难题。图像在传输和获取的过程中会受到各种噪声的干扰，噪声不但干扰人们对图像的理解，而且还影响到后续图像的处理效果，如图像的边缘检测、图像分割、目标识别等。中值滤波和均值滤波是经典的去噪算法，但它们在抑制噪声的同时，使图像边缘变得模糊。小波变换由于具有良好的时频域局部特性，可以灵活地对信号局部奇异特征进行提取以及时变滤波，小波去噪可有效地滤除噪声并保留信号高频细节信息，因此在图像去噪中得到广泛的应用[2]。

长期以来，人们在小波去噪方面进行了大量的研究，有利用小波系数相关性去噪法、通过小波阈值去噪法、采用模极大值去噪法等.从最小均方误差的角度来看，小波阈值去噪法在取得较好的视觉效果的前提下，去噪效果基本可达近似最优[3-4]。常用的阈值确定方法有：通用阈值法VisuShrink法，Sure与VisuShrink阈值结合产生的SureShrink法，依据Minmax准则的Minmaxi阈值，Chang S G等人提出的BayesShrink法[5]等。常用的阈值函数有硬阈值函数和软阈值函数[6]：硬阈值法由于其在阈值处的不连续使所得到的图像产生附加振荡；由软阈值函数估计得到的小波系数整体连续性虽好但与原始小波系数之间存在偏差，得到的重构图像虽然平滑性能比较好，但会导致小波图像边缘模糊。

本文针对小波阈值去噪的不足，将处理模糊信息的中介数学系统引入到小波图像去噪算法中，根据中介真值程度度量方法和阈值周围小波系数中含有噪声程度的模糊性，对阈值周围的模糊区域进行处理[7-9]，计算含噪模糊的小波系数的保留程度，采用BayesShrink阈值准则，提出了基于MMTD的Bayes软阈值小波图像去噪算法。通过仿真实例，与典型算法处理结果相比表明，基于MMTD与小波相关性的小波阈值图像去噪算法有效去除噪声，并较好地保持图像边缘细节。

1 中介真值程度度量

1.1 中介模糊

如果设P为具有一性质的谓词，x为任一变量，P(x)表示变量x“┓P”表示谓词P的反对对立面，则P与┓P就抽象地表示为一对反对对立性质；“～”表示模糊性质，读为“部分地”。若变元x满足～P(x)&～┓P(x)，则称x为P与┓P的中介对象，模糊否定词“～”的语义深刻地反映了中介模糊的概念。

1.2 真值程度的度量

超态[7]是对于“非此即彼”的现象扩展，在形容事物的状态时有好有坏，更具体地分其实还存在更好和更坏的状态，这种“更“的状态在此就可以用超态来表示。

超态一般用符号“+”表示，对应的真值集合为

Truth={+T,T,M,F,+F}，

由此可将一般数值化应用的数值区域划分为5个对应的真值区域，即+P，P，～P，┓P，┓+P，如图1所示。图1中，αT为谓词P的εT标准度；αF为┓P的εF标准度。可以通过计算相对于P或┓P的距离比率函数hT(y) 或hF(y)得到每个数值区域中的真值程度度量。

图1 数值区域与谓词的对应关系

2 算法描述及参数确定

2.1 最佳阈值确定

小波阈值去噪法中关键技术之一是最佳阈值λ的确定。SureShrink法首先通过SURE (Stein Unbiased Risk Estimator)给定一个阈值T，再利用最小二乘法得到它的估计值λ。VisuShrink法是使用小波变换后所有高频系数的数目和噪声标准差来确定阈值。基于图像小波系数广义高斯分布特性，在Bayes框架下参照最小化Bayes风险进行计算，Chang S G等人得到BayesShrink 阈值， BayesShrink 阈值考虑了图像小波系数的广义Gaussian特性，子带的自适应性更强，算法复杂度也较简单，其阈值计算公式为

λ=σ2/σx,

(1)

式中：σ2为加入的高斯噪声方差；σx为不带噪声信号的标准方差。

本文在BayesShrink 阈值的基础上提出一种针对小波分解的不同方向不同子带的阈值确定方法。假设图像(大小为n×n)含有加性高斯白噪声ε(i,j)～N(0,σ2)为独立同分布，与原始图像f(i,j)也相互独立，则加噪图像表示为

g(i,j)=f(i,j)+ε(i,j),

(2)

式中i,j=1,2,…,n,则不同子带不同方向的小波阈值确定步骤如下：

a.估计噪声方差时，通过对各子带各方向小波系数，采用空域非线性方法的median函数得到

σ(s,j)=median(Y(s,j))/0.6745,

(3)

式中：Y(s,j)代表带噪图像的小波系数；s代表不同方向的小波系数，s=1，2，3分别代表水平方向系数Hj，垂直方向系数Vj，对角线方向系数Dj；j代表分解层数(j=1,2,…,N)，N是分解的最后一层。

b.估计子带中信号的方差σx，因为Y(s,j)服从高斯分布，有

(4)

式中n(j)表示图像经过小波分解后的第j层的子带的大小。

由于原始图像信号与噪声信号相互独立，则图像小波系数与噪声生成的小波系数也相互独立，且由公式(2)得到

(5)

将式(3)与式(5)代入式(1)，就可以得到本文算法中用到的不同子带、不同方向的阈值表达式

(6)

2.2 改进的阈值函数

本文算法在软阈值函数基础上结合中介真值程度的度量方法，提出一种改进的阈值函数。改进算法中阈值周围系数值的滤除和保留程度由中介真值程度度量中的一维距离比例函数来确定，具体算法如下：

根据超态的概念和中介模糊区域的设定(本算法的模糊区域是阈值周围的小波系数，因为无法判断这些小波系数中是否含有噪声)，根据含有噪声的程度可将小波系数的值划分为三个区域，分别为：S1，S2和S3，如图2所示。

图2 基于MMTD和软阈值的高频小波系数数值区域划分

对于S1区域，由仿真测试和理论分析可知，小于0.95λ的高频系数基本属于噪声，故全部清除。S1部分的函数为

(7)

对于模糊区域即S2部分，小波系数含噪声成分模糊用本文中的中介算法处理，根据 MMTD的距离比例函数计算来确定小波系数的保留程度，同时将软阈值函数萎缩一个λ大小用来消除恒定偏差，得到S2的函数

(8)

对于S3区域部分，为解决原软阈值函数中“估计信号与原始信号之间存在恒定偏差”的不足，本文研究了最新的一些软阈值函数的改进算法，如杨立的基于改进小波阈值函数的图像去噪等，这些算法采用矫正因子来控制软阈值的萎缩程度，效果较好，但是在确定矫正因子时候不具备自适应性。因此，本文算法基于上述改进算法中的“软阈值的萎缩量尽量缩小”的思想，同时又根据“小波系数越大噪声程度越低”的结论，将阈值与小波系数的比值与软阈值的矫正因子相关联，小波系数越接近阈值，则矫正因子值越小，反之就越大，进而得到S3区域的函数为

(9)

如式(9)，当Bi,j=50λ时，萎缩值为 0.02λ；当Bi,j=5λ时，萎缩值为0.2λ，萎缩量实现自适应地调节。

综上所述，新的阈值函数通过对阈值周围模糊区域的处理，在改善了硬阈值函数的不连续性的同时，也改善了软阈值函数的恒定偏差的缺陷。

3 算法步骤

本文采用最佳阈值结合改进的新阈值函数对图像进行去噪，为了使小波图像去噪效果更好，我们要选择合适小波基函数和分解层数。Haar小波具有简单和较好的对称性，比较适合处理阶跃信号，所以本文采用 Haar小波。图像中高频信息表示边缘轮廓引起的灰度突变，反映了图像的细节变化。小波分解的层数过高会导致边缘信息丢失，所以本文的小波图像分解层数采用3 层，对应的算法流程如图3所示。

4 仿真实验及结果分析

为了验证本文算法的有效性，在Matlab平台下，选取256*256的标准灰度测试图像Lena和Baboon，Lena图像平滑区域较多，Baboon图像边缘纹理较多。将测试图像分别加入均值为0，方差σ=10,20,30的高斯噪声，分别用硬阈值函数、软阈值函数和本文算法进行去噪，对去噪结果从客观和主观两方面进行对比分析。

图3 算法流程

4.1 客观评价

常见的客观评价标准有峰值信噪比(PSNR)和最小均方差(MSE)，本文采用PSNR来衡量去噪效果，其定义为

(9)

(10)

式中：f′(i,j)为去噪后图像；f(i,j)为原始图像。

采用硬阈值法、软阈值法和本文算法对含噪Lena和Baboon图像去噪，所得PSNR如表1所示。

表1 各阈值去噪算法应用与Lena和Baboon图像的PSNR(dB)比较

从表1可以看出，本文方法与传统的软、硬阈值方法相比，峰值信噪比PSNR方面都有明显的提高，幅度从1dB～3.611dB不等，说明本文算法能够较好地保留图像的边缘和细节信息，去噪效果很好。

4.2 主观评价

图4是对加入σ=20的高斯噪声的标准Lena图像的去噪结果。

图4 对加入 的高斯噪声的标准Lena图像的去噪结果

从图4可以看出，本文算法较传统算法取得了较好的去噪效果，图像的含噪量得到明显地减少，并且能够很好地保留图像的纹理细节。

5 结果与展望

本文通过分析传统阈值函数的不足，采用MMTD方法对阈值周围的模糊区域进行研究，通过利用一维情况下距离比例函数计算出该区域小波系数的保留程度，对系数较大的区域采取阈值和小波系数之间的比值进行萎缩操作。仿真结果表明，本文算法能够有效去除图像噪声，很好地提高了峰值信噪比，并较好地保持图像边缘细节，人眼视觉效果更好，因而更具有实用性和有效性。

本文提出的基于MMTD的改进的Bayes软阈值算法，虽然能有效地去除图像噪声，但是运算量较大，改进算法运行时间较长，需要从提高效率的角度进一步优化该算法。另外，本文算法仿真测试采用的是256*256的标准灰度测试图像Lena，不是来自实际工程中采集的图像，下一步可通过摄像头传感器采集实际的图像，将本文算法应用到实际工程中，达到理论与实际工程相结合的目标。

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