基于属性关联的犹豫模糊TODIM多属性决策方法*

刘 宁 元

(广东轻工职业技术学院 财贸学院，广州 510000)

0 引 言

自模糊集[1]提出以来，对客观世界各领域的研究从精确集逐渐拓展到了模糊集.作为决策者的主体在现实决策过程中，由于自身的知识背景及思维差异，经常表现出犹豫，认为几个值都有可能，而且彼此很难说服对方，使得最终的决策结果难以达成一致.Torra[2]提出犹豫模糊集，它作为模糊集的一种重要拓展形式，允许用几个可能的值来表示隶属度.目前，基于犹豫模糊信息的多属性决策问题已引起学者们的重视[3-10].

对于多属性决策问题的研究，大多数方法是建立在期望效用理论之上，这些都假设决策者是完全理性的，然而在现实的决策过程中，常常是具有有限理性的心理特征[11].Kahneman和Tversky以“有限理性人”为基础，提出前景理论[12]，在考虑决策者心理行为的情形下，对提高多属性决策质量具有重要现实意义[13-19].Gomes和Lima[15]在前景理论的基础上提出TODIM决策方法，重点考虑了决策者的参照依赖和损失规避行为特征.与前景理论有所不同，TODIM方法不需要事先给出决策参考点的信息，通过计算决策者对两两方案比较优势-劣势的感知优势度来解决属性值为清晰数的多属性决策问题.此后，许多学者对TODIM方法进行了深入研究.樊治平等[16]将TODIM方法推广到区间数环境下，利用区间数距离构建方案收益-损失决策矩阵，进而计算方案总体感知优势度并对方案排序.Krohling和Souza[17]将TODIM方法推广到梯形模糊数环境下，提出了一种新的F-TODIM多属性决策方法.Zhang等[6]将TODIM方法推广到犹豫模糊环境下，提出新测度函数进行方案之间优势-劣势比较，进而计算方案的总体感知优势度并对方案排序.Fan等[18]将TODIM方法推广到属性值为清晰数、区间数、语言术语的混合环境下，提出一种混合TODIM多属性决策方法.梁霞[19]将TODIM方法推广到属性值为关联的清晰数环境下，提出属性关联的C-TODIM多属性决策方法.

鉴于现实多属性决策问题中，属性间常存在关联，属性评价结果通常表现出一定程度的犹豫不决，认为几个值都有可能.文献[19]虽然研究了基于属性关联的清晰数TODIM多属性决策方法，但没有涉及不确定的环境下；文献[6]虽然研究了基于犹豫模糊TODIM多属性决策方法，但对于属性间存在关联的情形也没有进行研究.因而研究基于属性关联的犹豫模糊TODIM多属性决策方法具有重要的理论价值和现实意义.为此，针对属性具有关联的犹豫模糊多属性决策问题进行了探讨，通过决策者参照依赖和损失规避心理行为，提出TODIM多属性决策方法，详细给出了该方法的决策过程，并在此基础上进行算例分析.

1 预备知识

1.1 犹豫模糊集的概念

定义1[2]定义在非空集合X={x1，x2，…，xn}上的犹豫模糊集为H={|x∈X}，其中hA(x)是区间[0，1]中几个不同实数的集合，表示x∈X属于集合A的几种隶属度，它是犹豫模糊集H的基本元素.Xia[9]称hA(x)为犹豫模糊数，将其记为h=hA(x).犹豫模糊数h具体地表示为h=H(γ1，γ2，…，γ#h)(γλ∈[0，1]，λ=1，2，…，#h)，其中#h表示犹豫模糊数h中元素的个数.

定义2[8]设h1，h2，h为犹豫模糊数，它们的基本运算法则定义如下：

(1)h1∪h2=H{max(γ1，γ2)|γ1∈h1，γ2∈h2}；

(2)h1∩h2=H{min(γ1，γ2)|γ1∈h1，γ2∈h2}；

(3)θh=H{(1-(1-γ)θ)|γ∈h}(θ>0)；

(4)hθ=H{γθ|γ∈h}(θ>0)；

(5)hc=H{(1-γ)|γ∈h}

定义3[6]设犹豫模糊数h=H{γ1，γ2，…，γ#h}，犹豫模糊测度函数S(h)定义：

(1)

其中，参数δ(0<δ≤1)是决策者根据实际决策需要给出的一个常数.当δ=1，则式(1)为犹豫模糊数的得分函数[9].对于两个犹豫模糊数h1(x)和h2(x)，基于测度函数S(h)排序如下：

若Sδ(h1)>Sδ(h2)，则h1优于h2，记h1>h2；

若Sδ(h1)=Sδ(h2)，则h1等价于h2，记h1～h2；

若Sδ(h1)

任意两个犹豫模糊数的元素通常无序，且元素个数也不完全相同.为了进行运算，作如下约定[6]：设犹豫模糊数h1(x)和h2(x)中元素个数分别为#h1和#h2，将h1(x)和h2(x)中元素按照增序进行排列，在元素较少的集合中添加元素，使其个数达到#h=max{#h1，#h2}，添加原则反映了决策者的风险态度.

定义4[8]设犹豫模糊数h(x)=H(γλ|λ=1，2，…，#h)，设γ-和γ+分别表示h(x)中的最小值和最大值，按照以下方式在h(x)中添加元素：

(2)

(3)

1.2 模糊测度

定义6[20]设X为有限集，P(X)是X的幂集，gλ：P(X)→[0，1]满足性质：(1)gλ(φ)=0，gλ(X)=1；(2)若M⊆N⊆X，则gλ(M)≤gλ(N)≤gλ(X)；(3)gλ(M∪N)=gλ(M)+gλ(N)+λgλ(M)gλ(N)，其中λ∈(-1，)，则称gλ为P(X)上的λ模糊测度.

由定义6可知，当λ=0时，表示gλ是可加测度，M与N间无相互作用关系；当λ>0时，gλ(M∪N)>gλ(M)+gλ(N)，表示gλ是超可加测度，M与N间存在积极合作关系；当λ<0时，gλ(M∪N)

如果有限集X={x1，x2，…，xn}，对任意的A∈P(X)，且gλ模糊测度满足[21]：

(4)

因为P(X)=1，根据以下公式，可确定唯一的参数λ：

1+λ=∏i∈A[1+λgλ(xi)]

(5)

定义7[22]设f为定义在P(A)上的模糊测度，离散Choquet积分定义为f：A→R+关于μ的映射：

(6)

其中(i)表示1，2，…，n的一个置换，满足0≤f(a(1))≤f(a(2))≤…≤f(a(n))；X(i)={x(i)，…，x(n)}，且X(n+1)=φ.

2 属性关联TODIM方法

设X={x1，x2，…，xm}表示方案集，A={a1，a2，…，an}表示属性集，μ为定义在P(A)上的模糊测度，方案xi(i=1，2，…，m)在属性aj(j=1，2，…，n)的评价值hij为犹豫模糊数.设H=(hij)m×n是犹豫模糊多属性决策矩阵，其中hij是一个犹豫模糊数，表示方案xi满足属性aj的程度，并且0≤hij≤1.经典TODIM方法[15，23]考虑到决策者损失规避的心理行为特征，计算决策者对两两方案比较的收益-损失值，进而构建在每个属性下的感知优势度矩阵，最后得到各备选方案的总体感知优势度，并以此进行排序择优.

(7)

φ(xi，xk)=

(8)

进一步地，计算方案xi相对于其他方案的总体感知优势度Φ(xi)，其计算公式为

Φ(xi)=

(9)

显然，0≤Φ(xi)≤1，方案xi(i=1，2，…，m)的总体感知优势度Φ(xi)越大，则方案xi(i=1，2，…，m)就越优.

综上，提出考虑属性关联的犹豫模糊TODIM方法的决策步骤：

(10)

F1和F2分别表示效益型和成本型属性集.其中(hij)c表示hij补集，按照定义2中式(5)计算.

步骤2 对决策属性A={a1，a2，…，an}的gλ模糊测度进行专家评定，根据式(4)、式(5)确定各属性子集的模糊测度.

步骤4 利用式(8)计算方案xi对于所有属性aj(j=1，2，…，n)下相对于方案xk的个体感知优势度φ(xi，xk).

步骤5 利用式(9)计算方案xi(i=1，2，…，m)总体感知优势度Φ(xi)，最后利用总体感知优势度Φ(xi)的大小确定方案xi(i=1，2，…，m)的排序，确定最优决策方案.

定理如果在犹豫模糊信息多属性决策中，决策属性相互独立，则关联的TODIM方法等价于经典的TODIM方法.

证明根据犹豫模糊多属性决策属性关联TODIM方法，方案xi相对于方案xk在所有属性aj(j=1，2，…，n)下集成的感知优势度为φ(xi，xk)：

φ(xi，xk)=

(11)

由于决策矩阵犹豫模糊信息属性相互独立，则属性权重满足可加性，即

μ(Aσ(j))-μ(Aσ(j+1))=μ(a(j))

将μ(aj)=wj(1≤j≤n)代入式(11)，则

(12)

设wjr=wj/wr，其中wr=max{wj|j=1，2，…，n}，则

(13)

(14)

由式(12)—式(14)可得：

(15)

式(15)和文献[6]方法中感知优势度的计算公式是一致的.即决策属性犹豫模糊数相互独立，则关联的TODIM方法等价于经典的TODIM方法.

3 算例分析

3.1 算 例

以文献[24]为例，某企业准备制定未来几年的项目投资计划.假如有4个备选项目需要确定投资重点，董事会利用平衡计分卡评价体系[25]确定了ai(i=1，2，3，4)4个效益型指标：a1财务方向，a2顾客满意方向，a3内部业务流程方向，a4学习成长方向来评估这4个项目的前景，评估结果见表1.

表1 犹豫模糊评估值Table 1 Hesitating fuzzy evaluation value

利用式(7)比较在属性aj(j=1，2，3，4)下两两方案评价值的大小.设δ=0.1，得到表2中所有方案在各个属性下的比较结果.其中“A”表示方案xi/xk比较优势，“D”表示xi/xk比较劣势.例如，在a1财务方向的属性下，决策者认为方案x1要劣于方案x2，因为方案x1在属性a1下的评估值h11为{0.2，0.4，0.7}，而方案x2在属性a1下的评估值h12为{0.2，0.4，0.7，0.9}.利用式(1)比较(取δ=0.1)可知，S0.1(h11)=0.387 6

表2 在aj(j=1，2，3，4)属性下方案的优势-劣势比较分析Table 2 Comparative analysis of advantage anddisadvantage under aj(j=1，2，3，4)attribute

由于属性aj(j=1，2，3，4)均为效益型指标，规范化矩阵就是犹豫模糊决策矩阵，见表3.

表3 犹豫模糊决策矩阵D=(hij)4×4Table 3 Hesitation fuzzy decision matrix D=(hij)4×4

步骤2 由专家评定各属性测度gλ值：gλ(a1)=gλ(a3)=0.15，gλ(a2)=gλ(a4)=0.2.利用式(4)、式(5)，得到λ=1.4以及所有属性子集的模糊测度，如表4所示：

表4 属性子集的模糊测度Table 4 Fuzzy measure of attribute subset

步骤4 利用式(8)计算方案xi(i=1，2，3，4)在所有属性aj(j=1，2，3，4)下相对于方案xk(k=1，2，3，4)的个体感知优势度φ(xi，xk)取(θ=1)，如表5所示.

表5 方案xi(i=1，2，3，4)相对其他方案的个体感知优势度Table 5 The individual perceived advantage of schemexi(i=1，2，3，4) relative to other programs

步骤5 利用式(9)计算方案xi(i=1，2，3，4)总体感知优势度：Φ(x1)=0.000 0，Φ(x2)=0.464 5，Φ(x3)=0.928 3，Φ(x4)=1.000 0.

最后，根据总体感知优势度，得到方案的排序结果为x4>x3>x2>x1.

文献[24]的排序结果为x4>x2>x1>x3，与本文排序有所不同.文献[24]通过犹豫模糊广义λ-Shapley Choquet平均集成算子集成决策信息得到排序结果.信息集成算子是决策者基于完全理性地处理多属性决策的方法，但是在现实生活中决策者往往是有限理性的，因此，提出的方法更加符合现实情况.

3.2 参数的敏感性分析

由于基于关联的TODIM犹豫模糊多属性决策方法是带有参数η(决策者风险偏好)、参数δ(测度函数S(h))以及参数θ(损失规避系数)的决策方法.

针对决策者不同的风险偏好，参数η取值不同，对原始决策信息中添加的犹豫模糊信息(即属性值)就会发生改变，从而引起犹豫模糊决策矩阵的变化.该敏感分析主要通过改变参数值的大小，分别计算方案最终排序结果的变化情况.参数η分别取0、0.5、1，计算基于η的不同取值下方案排序结果，见表6.

表6 基于η的不同取值下方案排序结果Table 6 The ranking results based on different valuesunder η scheme

从表6中的敏感性分析结果看出，参数η(决策者风险偏好)的值从0变化到1，方案的最终排序结果是一致的.即方案的最终排序结果对参数η的取值不敏感.

针对犹豫模糊测度函数S(h)，参数δ取值不同，确定在各属性下方案的优势-劣势比较分析就会发生变化，从而影响方案最终排序.参数δ分别取0.1、0.01、0.001，先进行基于δ不同取值下方案的优势-劣势比较分析，最后计算δ的不同取值下方案排序结果，见表7.这说明参数δ取值对方案排序结果不敏感.

表7 基于δ的不同取值下方案排序结果Table 7 Ranking results based on different values underδ scheme

针对方案感知优势度φ(xi，xk)，损失规避参数θ分别为0.2、0.4、0.6、0.8、1，计算基于θ的不同取值下方案排序结果(η=0，σ=0.1)，见表8.

表8 基于θ的不同取值下方案排序结果Table 8 Ranking results based on different values underθ scheme

从表8中的敏感性分析结果看出，参数θ的值虽然变化，但方案的最终排序是一致的，这说明参数θ取值对方案排序结果不敏感.

4 结 论

在决策过程中，考虑到决策者行为是有限理性的，这更加符合现实情况.因此，研究考虑决策者“有限理性”的决策问题具有重要的现实意义.针对决策者的属性偏好是犹豫模糊信息，且已知属性关联测度的多属性决策问题，考虑到决策者参照依赖和损失规避心理行为的情形下，提出一种基于TODIM思想的多属性决策方法.该方法通过将其他方案作为参照，引入测度函数对每个属性下方案之间的优势-劣势进行比较，结合TODIM方法和Choquet积分思想，得到方案总体感知优势度，进而对方案进行排序.与已有仅考虑决策者行为且属性关联清晰数的决策方法相比，或与仅考虑决策者行为且属性值为犹豫模糊信息的决策方法相比，所提方法可以有效地处理这两种方法的不足之处.它既考虑到了决策者行为，又考虑到了在不确定的环境下属性间存在着关联的情形，因而具有较强的可操作性和实用性.

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