有机：让数运算教学丰润起来

张睿

摘 要：“有机”指事物构成的各部分之间互相关联，具有不可分割的统一性。小学阶段数运算的知识结构和数运算形式之间存在着多种内在联系、随意的割断、片面的追求，程序化的操作都会导致数运算育人价值的狭窄化。将数运算之间的多种内在联系“有机”地融合与渗透，让数运算教学丰润起来，才能实现数学教学与学生生命成长的双向建构。

关键词：有机;整体化;结构化;品质化

小学阶段的数运算体系是随着数概念的逐步扩展而不断建立和完善的。整个小学阶段，数运算就内容而言，主要包括整数、小数、分数和正负数四种范围的四则运算，它们之间存在着雷同的知识结构关系。另外，数运算就其运算形式而言，主要有口算、笔算、估算和简便计算，它们之间具有有机融合、综合渗透的内在联系。正是因为上述数运算的知识结构和数运算形式之间存在着多种内在联系，教学时如何“有机”结合起来，使学生学会有序地和结构性地思考，养成有条理的思维习惯，了解数学发现的一般方法，感受法则形成过程中的数学思考，建立判断与选择的自觉意识等成为笔者的研究重点。下面以苏教版小学数学三年级下册“三位数乘一位数的笔算”教学为例，谈谈前期的实践与思考。

一、“知识”有机“融合”，感悟整体化

按教材编排，“三位数乘一位数的笔算”是第二课时内容，着重研究三位数乘一位数的基本方法。第三、四课时教学三位数的中间或末尾是0时的乘法计算。

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将三位数乘一位数的笔算的整体教学划分成单个的知识点，用3课时进行教学。教材的这样编排虽然遵循了从易到难，从一般到特殊的认知规律，但忽视了数学知识整体关系的构架，割裂了知识部分与整体之间的联系——算法一致，表现形式略有不同，忽视数学知识各层次之间多维复杂的相互关系。这在一定程度上抑制了学生的自主探究的积极性，约束了学生发现创新的空间。

【重建】

课始直接告知今天继续学习乘法，并出示9道不同类型的三位数乘一位数算式，请学生观察它们有什么相同之处，从而引出本课课题：三位数乘一位数的乘法。然后引导学生根据三位数的特征对算式进行分类。学生发现三位数乘一位数可以根据0的情况分为有0的和无0的两类，教师随之调整卡片位置，并再次引导学生对有0的一类算式进行二次分类，最后总结出根据三位数中0的情况，可以把三位数乘一位数分为三类。

板书：

三位数乘一位数

一般的三位数乘一位数

中间有0的三位数乘一位数

末尾有0的三位数乘一位数

①152×3 ②104×2 ③120×8

④275×7 ⑤402×6 ⑥250×4

⑦398×5 ⑧301×9 ⑨600×7

【設想】

1.“点状知识”到“块状知识”

针对上述“点状知识”的现象，笔者尝试对本单元的内容进行了“块状重组”。计算中间或末尾有0的三位数乘一位数，首先要掌握0的乘法，这对学生来说是一个新知识，因此笔者将0的口算教学从教材中乘数中间有0的笔算教学中抽离了出来，与整百数乘一位数的口算融为1课时，在第一段进行教学。一方面完善了三位数乘一位数口算教学，另一方面也为后续三位数乘一位数的笔算教学做了准备。第二段进行三位数乘一位数估算的教学，在估算教学中落实口算，并为学习三位数乘一位数的笔算教学做好衔接。第三段教学三位数乘一位数的笔算（包括乘数中间和末尾有0的笔算）。第四段教学连乘计算的实际问题。第五段单元复习。

2.“情境导入”到“整体进入”

目前教材中的数运算教学大多从“情境导入”，沟通数学与生活的联系的同时引发学生的学习需求，帮助学生意义建构。但本课教学是基于学生已经掌握两位数乘一位数口算和笔算的知识经验基础上的，程序化的“情境导入”不仅违背了数学对象的抽象特性，降低了学生理性思维的水平，也导致了在有限的课堂时间内教学过程的走场化。本课采用整体进入的方式：将三种类型的九道三位数乘一位数算式同时呈现给学生，再引导学生根据三位数的特征分类。这样不仅将学生的关注点很快聚焦到三位数乘一位数的乘法学习上，更为学生搭建了一个适合整体感悟知识的背景框架，使学生对本单元内容在整个数运算框架体系中的位置有了整体了解，同时也对本单元需要学习的各种运算类型有了初步的感知。

二、“方法”有机“迁移”，教学结构化

小学阶段的数运算学习内容是一个科学而严谨的系统，知识之间有着十分紧密的联系，在横向和纵向上都表现出规则的一致性和方法的可迁移性。

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学生学了一般的三位数乘一位数笔算方法后，再学习乘数中间有0和末尾有0的乘法时，仍会出现忽略个位向十位的进位，积中间都是0的情况，或者笔算几百几十乘一位数时，仍习惯于常规写法，缺少自觉运用简便写法的意识。这些问题的产生与教学中“方法”的迁移、教学的结构化有很密切的联系。

【重建】

在揭示了三位数乘一位数的三种类型后，可以分两个层次进行教学。

第一层次：探究一般的三位数乘一位数的笔算方法。先引导学生对其中一题进行估测，确定积的范围后，尝试计算。集体交流时，教者将收集到的学生资源并排呈现在黑板上（分步口算和竖式计算），便于学生观察比较两种做法的相同与不同之处。明确它们的方法一致，形式不同，而竖式计算写法相比更简便。在学生掌握笔算的计算程序后，比较计算结果和估计结果是否一致。剩下的同类型的2题作为反馈练习，引导学生按照刚才的学习过程（先估再算，然后说计算过程，最后比较算与估的结果是否一致）进行尝试。集体校对后，引导学生反思三道题在计算的过程中的相同之处，从而提炼出一般的三位数乘一位数的计算法则：数位对齐，从个位算起，用一位数依次乘三位数的每一位，哪一位满几十就向前一位进几。

第二层次：探究有0的三位数乘一位数的笔算方法。引导学生运用刚才的学习过程，分别从两个类型的题目中选一题进行探究，教师巡视并收集有代表性的学生资源。交流时，先呈现乘数中间有0积中间也有0的两个学生资源，明确计算程序集体校对后，引导学生思考：0乘任何数都等于0，三位数中间有0，是不是积的中间一定有0呢？通过学生阐述和另一题的例证，得出乘数中间有0，积的中间不一定有0的结论。再呈现乘数末尾有0的个位对齐的学生资源，集体校对。引导学生思考：根据口算的方法，你能将竖式的书写格式变得简洁些吗？学生再次动手尝试，教者收集半成品资源，交流讨论后明确简便写法的格式。拓展练习：如果末尾有2个0，3个0呢？

第三层次：对比沟通。今天研究的三位数乘一位数，都是怎么计算的？拓展：如果是四位数乘一位数，如何计算呢？五位数呢？总结：不管是几位数乘一位数，都是用一位数依次去乘几位数的每一位，满几十就向前一位进几。

【设想】

1.方法结构，纵向“有机”迁移

纵观小学阶段的乘法运算教学，可以分为三次循环认识，即表内乘法的认识，用一位数乘的认识，用两位数乘的认识。沟通这些看似割裂、点状的知识之间的内在联系，使前后不同数范围的运算法则贯通起来，就能形成学习数运算的方法结构。

三位数乘一位数的笔算教学是建立在两位数乘一位数的基本认知结构上的，是对两位数乘一位数基本算理、算法的首次迁移。只是随着数范围的不断扩大，需要在一个个新范围内进行拓展和组织。一旦学生掌握了三位数乘一位数的计算方法，就可以不断地迁移到更多数位乘一位数的学习中。每一次的迁移都是对此前结构的完善，知识结构就在不断趋于完善的过程中由薄到厚，方法结构也逐渐衍生。

2.过程结构，横向“有机”迁移

数运算之间具有可类比的内在关联性，相应的学习方法也具有相似性。这种关联性与相似性体现在同一类型的乘法运算中，如，教师呈现的一般的三位数乘一位数的算式有三道，教师引导学生经历了其中一题的探究过程，学生就可以运用特殊到一般的方法自主迁移到另外两题。这种关联性和相似性也体现在不同类型的三位数乘法运算中，如：第一层次一般的三位数乘一位数的教学给了学生一个学习探究的结构，在第二层次有0的三位数乘一位数的探究活动中，学生就可以自觉地运用这样的结构，甚至还可以用这样的过程结构进行其他类型的数运算学习。通过这样的结构学习，不仅可以使学生对结构相关的知识牢固掌握，熟練运用并加以内化，更为重要的是通过结构学习，可以使学生的思维真正地主动投入，形成学生主动学习的心态与能力。

三、“思想”有机“渗透”，思维品质化

数运算教学对学生成长和发展的价值，不仅是对算法知识的掌握，更重要的是让学生体会到所学知识背后蕴含的思想，使学生学会创造性地运用知识，帮助学生形成数学的思维方式和人生态度。

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以往数运算教学关注最多的是学生计算能力的培养，教学中关注的主要是学生算理的掌握，算法的多样，追求的是计算的正确率和速度，但其实这只是数运算教学育人价值中的一部分。

【设想】

1.渗透“分类”思想，发展思维条理性

分类是基本逻辑方法之一，是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想。

在数运算教学中，分类思想的应用可以解决“串联”的知识，即从一个基本的问题引申出来的各种各样的题目。如乘法中一位数的乘法中涉及一位数乘一位数，一位数乘两位数，一位数乘三位数等知识。也可以解决“并联”的知识，即这些知识从某个角度看分属于不同知识，但换个标准它们却属于同一个知识体系。如，一位数的乘法与两位数的乘法。通过分类，有助于学生更好地掌握知识并形成良好的知识结构，同时也培养了学生观察、比较、概括的能力，发展了学生思维的条理性。

2.渗透“化归”思想，发展思维的灵活性

化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。

在本课及以往的数运算学习中，学生不仅掌握了运算知识，在参与探索算法的过程中还体验了把新运算转化为旧运算的化归思想。在这些体验中，学生思维的灵活性也得到了不同程度的发展。如，遇到三位数乘一位数的新问题时，能及时修正思考路线，探索出解决问题的有效途径，想到将两位数乘一位数的计算方法迁移过来。又如，在巩固练习中选择合适的方法计算三位数乘一位数的积，对于899×7这类接近整百数的三位数乘一位数，学生能很快想到转换成整百数乘一位数的乘加或乘减来计算等。这都是思维灵活性的表现。

让数运算教学丰润起来，不仅仅局限于知识、方法、思想等在课堂教学中“有机”融合。以上思考在数运算教学中的运用，还需不断地实践与探索，补充与完善。

参考文献：

[1]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].江苏教育出版社，2011.

[2]周志华.小学数学教学整体综合设计的实践探索[M].江苏人民出版社，2012.

编辑 谢尾合