一道例题引发的思考

贾帅

摘 要：在初中数学学习阶段，要求初中生有很强的逻辑思维能力，其中分类思想不但是一种重要的数学思想，也是一种很重要的数学逻辑方法.分类思想不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着举足轻重的作用，其实分类的思想可以用八个字精确地概括，那就是“化整为零、积零为整”.很多学生接触一些需要分类讨论的题目就无从下手，这就需要教师具体分析难点，针对难点进行突破.结合一道典型例题谈谈分类讨论“因何而难”以及在初中数学教学中“以何解难”.

關键词：分类思想；逻辑思维；化整为零；积零为整

一、因何而难

1.对象不明确

例一：我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则，在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考，下面请探索思考.

（1）若a+b=-7，则a×b的值为：①负数②正数③0。你认为结果可能为（ ）

A.①③ B.①② C.②③ D.①②③

（2）若a+b=-7，且a、b为整数，则a×b的最大值为 .

（3）数轴上A、B两点分别对应实数a、b，若a+b>0，比较a×b与0的大小.

本例充分地体现了《义务教育数学课堂标准（2011年版）》（以下简称《课标》）对不同学生在有理数这章的要求上变化，从第一问到第三问，数量关系越来越复杂也越来越抽象.班级40名学生，第一问36人全对，第二问35人全对，第三问全对的学生仅仅只有10人.首先第一问和第二问题目比较具体，这两问的设置是给第三问做出铺垫，在错的这30个人中，其中有8个人不知道分类讨论对象是谁，更不知道分类讨论对象的取值范围.

2.分类标准不统一

以下给出一位同学的解答：

解：（1）若a>0，b<0且|a|>|b|，那么ab<0

（2）若a>0，b>0时，那么ab>0

（3）若a>0，b=0时，那么ab=0

这位学生虽然知道分类讨论的对象是a、b，但是分类的标准不统一，这样会导致缺少两种情况：第一，若a=0，b<0，那么ab=0；第二，若a<0，由于a+b>0，所以b>0，那么，ab<0.其实在得到b>0的过程中也有分类讨论的过程.

3.逐级讨论无序、归纳总结不完美

对第三问来说，很多同学的分类讨论都是无序的，在对a到底是正数、0、负数的过程中，学生都不是对a从小到大讨论的，或者从大到小讨论的。我们不妨来继续看一位同学的解题思路：

解：如果a是负数，b是正数，那么ab<0.

如果a是正数，b是正数，那么ab>0.

如果a是0，b是正数，那么ab=0.

这个解题过程就显得不是那么自然，讨论标准虽然统一了，但是第二步逐级讨论就没有考虑到b可能是负数也可能是0.

二、以何解难

教师在教学活动中，如何引导学生运用分类思想，下面从例一出发，按照下面的过程来谈谈怎样发展学生的逻辑思维.

1.培养学生分类意识、渗透分类思想

我们知道初中数学课本上有许多法则、定义、定理都是分类定义和分类总结的.苏教版的初一数学课本，首先就将负数、有理数、无理数引入到数中，让学生对数有较全面的了解，同时也要求学生对数进行分类，由于分类的依据不同，相信得到的结果就不同，例如：数可以分为正数、0、负数，数也可以分为有理数和无理数.学生初步体会到分类的原则：不重复、不遗漏.当学生学习了相反数和绝对值后，我们可以提出这样一个问题“-a”一定是负数吗？启发学生对a分类，遇到|a|的时候，怎么样化简|a|，帮助和引导学生概括出a>0，a=0，a<0时化简形式.在我们学到有理数的加法法则，我们会把两个加数分为三类：（1）同号；（2）异号；（3）任何数与0相加，这样加深了学生对正数、0、负数的理解，又对有理数加法的法则更深的了解和掌握.只有在日常的教学和生活中，不断渗透分类思想，学生才能在题目中运用得得心应手.

2.提高思维水平，学习分类方法

所谓的分类标准要遵循四个原则：互斥性、多层性、统一性、相称性，换句话来说，在分类之后，各个子项没有交集，各个子项的并集就是母项.对于上述的例一，我们可以有两种讨论方式：

第一种方式：（1）a>0，b>0；（2）若a>0，b=0；（3）若a>0，b<0；（4）若a=0，b>0；（5）若a=0，b=0（舍去）；（6）若a=0，b<0（舍去）；（7）若a<0，b>0；（8）若a<0，b=0（舍去）；（9）若a<0，b<0（舍去）.

第二种方式：（1）a、b同正；（2）a、b同负（舍去）；（3）a、b一个为正、一个为负；（4）a、b一个为正、一个为0；（5）a、b一个为负、一个为0（舍去）.

第一种方式的分类标准是按a>0，a=0，a<0分类的，第二类分类标准是按a和b是否同异分类的，无论采取哪样的分类标准，在分类一项事物的时候，我们都要求每一项的事物都要准确的有且只有分成一类，这样分类才能做到万无一失，滴水不漏.

3.简化分类方法，提高效率

在上述例一中，我们采取两种分类方法，第一种分类方法相对于第二种分类方法比较复杂，因为题目有先给出a+b>0，如果直接讨论a、b的同异号，解题效率会提高很多.在学生平常的练习中可以看到，有先给条件的简化题，这就要求学生充分把握

条件.

4.加深分类思想、增强应用意识

在教学过程中或者在讲解练习题时，我们要使学生知道分类的原因，不是老师说了分类学生就分类，使学生自觉运用分类讨论思想，这样就会使学生在分类讨论的时候很确定而不是很盲目.在例一中，为了研究ab和0的大小关系必须对a、b和0的大小进行分类讨论，因为a、b和0的大小直接关系到ab和0的大小.

5.善于取舍、及时归纳

在讨论例一的时候，我们发现：a、b所有的情况有九种：（1）a>

0，b>0；（2）若a>0，b=0；（3）若a>0，b<0；（4）若a=0，b>0；（5）若a=0，b=0；（6）若a=0，b<0；（7）若a<0，b>0；（8）若a<0，b=0；（9）若a<0，b<0.但是我们考虑到实际情况a+b>0，所以我们要把九种情况加以处理，做到及时归纳.

就像本文所说的一样“化整为零、积零为整”，我们在教学过程中要不断渗透分类思想，把一个问题根据自己的需要和分类标准分成几个小问题，解决完每一小问题，然后把每一小问题的结果归纳总结在一起.这样可以有效地提高学生的学习兴趣，若结合其他的思想，会使让学生的逻辑思维不断地完善.

参考文献：

纽曼曼.初中数学分类讨论思想在解题中的应用探讨[J].教育现代化，2016：234-235.

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