函数中参数取值范围的求法

摘 要：在求解不等式恒成立问题中，在不等式中反解出参数的表达式，利用

大于函数的最大值，则大于它的所有值；小于函数的最小值，则小于它的所有值想法。利用导数求出函数的最值，进而求出参数的取值范围。

关键词：函数的值域；单调性；导数；不等式；分离参数；等价转化

近几年的高考数学题中，对函数和导数的考察侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，并与数学思想方法紧密结合，对分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想等进行了深入的考察。

导数的主要应用之一是利用导数讨论函数的单调性，以及求参数的取值范围。在高考数学21题压轴题中，通常需要区分参数的不同情况进行讨论，再利用导数与函数的单调性之间的关系就可以解决问题，但往往解题时分类较多，解法很繁，若能反解出参变数a，转化为求函数的最值，进而求出参数范围，则过程简便很多。

结论若x∈A时，f（x）>a（或f（x）≥a）恒成立，则af（x）max（或a≥f（x）max）。

例1 若函数f（x）=x2+ax+1x在（12，+

SymboleB@ ）上是增函数，求实数a的取值范圍。

解：∵f′（x）=2x+a-1x2≥0在（12，+

SymboleB@ ）上恒成立

即a≥1x2-2x在（12，+

SymboleB@ ）上恒成立

又y=1x2-2x在（12，+

SymboleB@ ）上单调递减

∴y<1122-2×12=3

∴a≥3

例2 已知函数f（x）=3x3-ax2+x-5在[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围。

解法一 由题意得

f′（x）=9x2-2ax+1≥0在x∈[1，2]上恒成立，

即a≤12（9x+1x）在x∈[1，2]上恒成立。

设h（x）=9x+1x，又h′（x）=9-1x2，

当x∈[1，2]时，h′（x）>0，

∴h（x）在[1，2]上单调递增，

∴h（x）min=9+1=10，欲使a≤12（9x+1x）在x∈[1，2]上恒成立，

需a≤12（9x+1x）min，即a≤5。

解法二 由题意得

f′（x）=9x2-2ax+1≥0在x∈[1，2]上恒成立，

∴f′（x）min≥0，x∈[1，2]。

当a9≤1，即a≤9时，f′（x）在[1，2]上单调递增，

∴f′（x）min=10-2a。由a≤9

10-2a≥0得a≤5；

当1

f′（x）min=f（a9）=1-a29。由9

1-a29≥0得a∈；

当a9≥2，即a≥18时，f′（x）在[1，2]上单调递减，

∴f′（x）min=f′（2）=37-4a。由a≥18

37-4a≥0得a∈。

综上得a的范围是a≤5。

解法三 由题意得f′（x）=9x2-2ax+1。

当Δ≤0时，即4a2-36≤0，得-3≤a≤3，

f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在[1，2]上单调递增；

当Δ>0时，由f′（x）≥0得x≥a+a2-99或x≤a-a2-99，由题意得

a+a2-99≥2

a>3或a<-3或a+a2-99≤1

a>3或a<-3，解得a<-3或3

综上得a的范围是a≤5。

由上面例题可知，运用分类讨论的方法去求参数的取值范围，分类种数较多，过程较繁，解题很容易出错。若反解出参数a，再利用函数单调性求出函数最值，进而求出参数取值范围，则可使解题过程简洁实用。

参考文献：

[1]邓保沧.骄子之路高考总复习[M].北京：光明日报出版社，2017：85-89.

[2]王江媛，雷旭波，黄丽雯，朱丽娜.2017年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明[M].北京：高等教育出版社，2016：152.

[3]陈爱中.挖掘隐含条件完善解题过程[J].北方论丛，2008（3）：30-34.

作者简介：

王葆青，甘肃省兰州市，甘肃省兰州市第四中学。