巧用三角函数定义解题

摘 要：三角函数的定义是三角函数中最基本的概念，在教材中起承前启后的作用，是三角函数其他知识的出发点。由三角函数的定义可导出三角函数的具体内容：三角函数线、定义域、三角函数的符号、值域、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数的图像和性质。

关键词：三角函数；中学数学；解题思路

其应用非常广泛，具体表现在以下几个方面：

一、 求任意角的三角函数值

例1 已知角α的终边上一点P（3t，4t），t≠0，求sinα，cosα，tanα，

的值。

解∵x=3t，y=4t，∴r=（3t）2+（4t）2=5t。当t>0时，r=5t

∴sinα=4t5t=45，cosα=3t5t=35，tanα=4t3t=43

当t<0時，r=-5t，因此sinα=4t-5t=-45，cosα=3t-5t=-35，

tanα=4t3t=43。

评注：这类题目是直接用定义解题，求r时要注意分类讨论。

二、 确定角所在的象限

例2 已知P={θ|sinθ>0}，N=θ|1+tan2θ=1cosθ，求P∩N的角θ所在的象限。

解：∵sinθ=yr>0∴y>0，又∵1cosθ=rx>0∴x>0由x>0，y>0知P∩N的角θ在第一象限。

三、 证明三角不等式

例3 已知α为第一象限角，求证：sinα+cosα>1

证明：设P（x.y）是角α的终边上异于原点的一点，则x+y>r>0

（三角形两边之和大于第三边）∴sinα+cosα=yr+xr=x+yr>1。

四、 化简求值

例4 已知sinα+cosα=13，求tanα+1tanα的值。

解：设P（x，y）是角α的终边上的一个点，则r=x2+y2，由任意角三角函数的定义知，sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx（x≠0，y≠0）

由sinα+cosα=13，得yr+xr=13，两边平方得y2r2+x2r2+2xyr2=13

化简，得xyr2=-13，所以tanα+1tanα=yx+xy=y2+x2xy=r2xy=-3。

五、 证明三角等式

例5 求证：cosα1-sinα=1+sinαcosα

证明：设P（x，y）是角α的终边上的一个点，则r=x2+y2，由任

意角三角函数的定义知，sinα=yr，cosα=xr（x≠0）。

则左边=xr1-yr=xr-y=x（r+y）（r-y）（r+y）=r+yx=1+yrxr=1+sinαcosα=右边

所以左边=右边，因此等式成立。

评注：灵活应用三角函数定义解题思路清晰，解法简单、直观。

三角函数的定义是学好三角函数的关键，其基础性和应用的广泛性决定了它的重要性。它不仅可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，更重要的是它又为平面向量、解析几何等内容的学习做了必要的准备。

作者简介：

庄云，山东省淄博市，淄博四中。endprint