高中数学解题方法及技巧探究

【摘 要】数学是学生从幼儿园就接触的一门重要学科，在高中，数学基本上与实际生活联系不大，但对于学生高考却非常重要，因此学生必须认真学习高中数学。高中数学的范围很广，会学到各方面的知识，其中重要的主要有三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计等等，这些知识在高考中占有很大的分值，因此学生必须学习并掌握这些知识点，熟练运用它们解决问题，文章主要讲述一些学生能经常用到的解题技巧。

【关键词】高中数学；解题方法；技巧

老师在传授学生高数时会运用到不同的方法，一是提供学生快速方便的解题模式，二可以提高学生的逻辑力，所以解题方法与技巧是至关重要的。

一、解题方法

1.换元法

所谓换元法，简单来说就是用一个未知量代替另一个未知量，使式子化简，从而解题的方法。这种方法在高中数学中是至关重要的一种方法，在函数和数列等问题中都接触到。

例一已知f（x-1）=x?-3x+2，求f（x+1）的解析式看这道题，可以假设t=x-1，题目要求解f（x+1）的解析式，因此可以用换元法x=t+1，这时把换元的式子代入函数，即f（x-1）=f（t）=（t+1）2-3×（t+1）+2，化简得f（t）=t2-t，为什么要这样做，因为（x+1）就是函数中的自变量x，这时求函数解析式，首先要知道函数的方程，因此用换元法用t代替原来的自变量，这时函数自变量为t，因此假设t=（x+1），带入函数f（t）=t2-t，即f（x+1）=（x+1）2-（x+1），化简得f（x+1）=x2+x，求出f（x+1）的解析式：f（x+1）=x2+x。

换元法也叫变元代换法，它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。在高中学生接触的换元法主要是整体换元和三角换元，所谓整体换元是在已知或者未知者中，一个代数式不断出现，用一个字母代替这个代数式，使式子明了，从而解题。如例一就是这种方法，当然有时也要变形来找到这个代数式，例如：3x+9x-5>=0，解这道题，可以先把9x变形为32x这时就找到了这个代数式：3x，然后设3x=t（t>0），可以化简为一元二次方程了，从而解出答案。

三角换元就是用所学三角知识和已知代数式，转换为三角函数进行计算。例如：求y=的值域，由根号定义知x的取值范围为（-1，1），所以x可以转化为sinx，因为两者取值范围一样，所以这个式子就变成了三角函数。

2.定义法

这是最简单的一种解题方法，即运用数学定义解题，数学中的定义、公式是经过长时间的研究所得出的一定的准则，对于解决数学问题提供了一种模板，它是经过千万次的实践所得出的必然结果，符合客观事实和科学理论。所以解题时定义是必不可少的，在数列、函数、立体几何中都离不开它。

例一、求f（x）=（x+3）/（x+1）在（-∞，-1）的单调性。

这是关于定义求单调性的一道题，设x1、x2∈（-∞，-1），且x1>x2，则

f（x1）-f（x2）=（x1+3）/（x1+1）-（x2+3）/（x2+1）

=（（x1x2+x1+3x2+3）-（x1x2+3x1+x2+3））/（x1x2+x1+x2+1）

=2（x1-x2）/（x1x2+x1+x2+1）

因为x2>x1，所以（x2-x1）>0，又因为x1、x2∈（-∞，-1），所以x1+1>0，x2+1>0，因此f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），因此f（x）=（x+3）/（x+1）在（-∞，-1）上单调递增。这就是用单调函数定义法来求函数单调性的。运用定义法求值还可以用在其他函数式，立体几何也经常用定义来证明，用定义法是解题基本步骤，不管什么难题首先离不开定义，学生必须牢记。

3.配方法

配方法是对式子进行一种变形，也称完全平方，通过配方找到已知数和未知数的联系，化繁为简，从而轻松解题。最常见的配方是对式子进行完全平方，这是最常见的一种方法，对方程和函数等应用广泛，主要适用于已知或未知中还有二次方程、二次不等式、二次函数的题。学生在高中接触到的最常见的配方根据主要是二次完全平方式，即：（a+b）2=a2+b2+2ab，通过这个配方法可以得到基本的配方形式：

①a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab

②a2+b2+c2+ab+ac+bc=1/2[（a+b）2+（a+c）2+（b+c）2]

③a2+b2+c2=（a+b+c）2-2（ab+bc+ac）

接下來用这些公式来解题：

例一、将y=4x2-x-1配方并求其顶点。

【解】y=4（x2-x/4）-1

y=4[x2+2×x×（-1/8）+（-1/8）2]-1-4×（-1/8）2

y=4（x-1/8）2-1-1/16

∴y=4（x-1/8）2-17/16，因此解出y=4x2-x-1的配方和顶点。

通过配方法学生可以解决一些数学难题，为节省他们的时间提供了一个好方法。

二、解题技巧

（1）数形结合。数形结合是一个解决数学难题的技巧，通过数形结合可以解决很多问题，而且可以减少很多麻烦，节省学生时间，这种方法主要体现在解析几何中，用图形辅助数学式子来解决难题，以形为手段，数为目的，对于一些数学难题，尤其在解析几何中是常用的一种形式。

（2）分类讨论。分类讨论是一种逻辑方法，也是重要的解题方法，是在遇到多种情况时使用的一种方法，面对数学题多种情况时，可以通过分类讨论一一列举出这些情况，进行分析。这种方法需要先观察式子，看是否要讨论，然后进一步解决。使用分类讨论有这几种情况：①式子出现绝对值时，例如lal>0，则分两种情况，a>0，a<0等等。②解含有参数的题目时，必须根据参数范围分类讨论，例如解ax>4，可以分为a>0，a<0，a=0三种情况。③问题中关于定义，公式等存在限制时，也需要进行分析。

（3）数学中学习的技巧有很多，还有因式分解，这是高三解题时时常用到的，它是从平方式公式中延伸出的一种解题方法，列如x2+3x+2可以分解为（x+2）*（x+1）。还有一些技巧需要学生在解题时自己发现，用适合自己的技巧解题，只有这样才能轻松面对数学问题，并解决它。

三、结语

高中数学是学生高考的一门重要科目，要学好必须了解其特点。教师通过向学生传达这些知识、解题方法和技巧，一方面可以解决学生面对的难题，为自己增分；另一方面学生通过学习不同的方法和技巧可以增强自己的逻辑力和理解力，在面对难题时能用不同的办法解决，为学生的学习开阔新的视野。老师也可以通过这些知识的教学提升学生的兴趣，进而提高教学效率。

参考文献：

[1]刘羿汎.探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧[J].科学大众（科学教育），2016，（11）：32.

[2]陆志琴.浅析高中数学解题方法和技巧[J].考试周刊，2016，（86）：63.

[3]李中华.试论高中数学重要解题方法与技巧[J].吉林教育，2016，（17）：20.

作者简介：

熊小勇，男，本科，研究方向：数学与应用数学。endprint