试析三角函数最值问题的解题策略

戴昊轩

【摘 要】三角函数的最值问题在高中属于重要考点，主要指的是将三角函数通过某种方法进行变形处理使其变成基本形式的函数，最后再利用相应的求解方法进行值域求解。这类问题通常情况下可以考察很多知识点，其中包括了三角函数性质、三角函数概念、三角函数图像、三角函数公式等多方面内容。题型多种多样，具有很强的抽象性和技巧性，解题方法也有很多种不同的形式，综合性明显。作为学生对此必须要进行深入研究，不断分析总结不同的解题策略，在锻炼知识的灵活应用同时开发自身的数学思维，提高解题能力。

【关键词】三角函数；最值问题；解题策略

引言

在数学学习中有很多种运算工具，三角函数是其中之一，占据重要位置。最值问题是三角函数中的最基本内容，也是重难点内容，在平时做题的过程中经常能遇到，对于我们的解题能力和综合应用能力有着很高的要求。在求解三角函数最值的时候和求其他函数无差，不仅需要用到三角函数的自身特性，同时也要学会对其进行不同形式的转化，将其变为最基本的函数形式下再进行求解。

一、几种常见的三角函数最值问题解题策略

三角函数最值问题的变化多样，其解题方法也呈现很多种形式。具体如下：

（一）配方法

配方法通常用在只有正弦和余弦函数且次数为2和1并存的三角函数表达式中。对于这类问题的解决需要对其进行配方或者换元将原有的三角函数变成二次函数，然后再进行求解。

（二）化一法

化一法主要由三部分组成，其中包括化一角、化一次、化一名，在解题的过程中需要用到降幂公式、推导公式、倍角公式以及和差公式，对此我们需要熟练掌握多种不同的公式，并能够灵活运用。

（三）利用三角函数的有界性求解

三角函数中的正弦函数与余弦函数都具有一定的有界性，因此在解题过程中也可以利用这种有界性求解三角函数的最值。

（四）利用三角函数的单调性求解

在求解三角函数最值问题的过程中根据不同區间相应的单调性进行求解也是一种有效的解题方式，可以让题目变得更加简单，帮助我们在最短时间内解出问题，同时也能在一定程度上锻炼我们的解题能力。

二、三角函数不同解题方法在实际当中的运用

（一）利用配方转化

如果一个三角函数问题经转化可以将其变成y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函数最值问题，这就可以将其看做是sinx或cosx的二次函数最值问题，因此利用配方转化求解最方便。

解析：在遇到这类问题的时候，主要需要注意到三点：

1.首先是三角函数的变形，必须要注意三角函数转变为二次函数的准确性，可以适当采用换元方式。2.熟练掌握二次函数的配方技巧，尤其要注意二次项系数以及对应的二次函数开口，避免出错。3.准确把握三角函数的取值范围，尤其是换元之后的变量，避免出现错误。

（二）利用三角函数的有界性转化

三角函数中的正弦、余弦函数具有一定的有界性，因此属于一种有界函数，利用这种有界性可以灵活解决三角函数的最值问题。如果既定的三角函数可以通过三角恒等变化结合相应的公式将其转变为形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，就可以利用这种有界性进行求解。在考试过程中，通常习惯采用的步骤就是首先求出函数的已知值域为[-A，A]，变量x无特定范围，最后求其最值。

（三）利用三角函数的单调性转化

对于三角函数来说，不同区间的单调性也是不同的，在解题的过程中也可以利用其相应的单调性进行最值的求解，这是一种十分常见的最值解题侧略。这类题在考试中经常会遇到，主要考察的是我们对三角函数性质以及图像变化技巧的掌握。

解析：在利用单调性求最值的时候要先确定函数在区间上的单调性，然后再进行计算，最终就会得出相应的结果。但是过程中应该注意以下几点问题：

（1）相对于单调性来说其是针对某一个定义域内的一个区间来说的，如果一旦离开了该区间或者离开了相关定义域就不能构成相应的单调性。而对某些函数来说，其整个定义域内的函数只能在定义域内的某个区间形成单调，例如常函数这类函数根本就没有单调区间。

（2）一个函数在相关定义域内的相应区间具有两点，均为增函数或者是减函数，通常情况下是不能认为其在相应的点区间内是增函数还是减函数。

三、结语

总而言之，求解三角函数最值问题是当前高中数学中的重要考点，我们对此必须要予以高度重视。由于其题型多种多样，具有很强的抽象性与综合性，因此在解题方法上也不尽相同，不同题型的解题方法也是存在差异的，对此，身为一名高中学生还是要平时多做题、多练习，扎实掌握三角函数的基础知识，同时在练习过程中总结多种解题技巧，并做好灵活运用，提高解题效率，确保可以遇到任何问题都能游刃有余。endprint