群观点下的线性代数教学探究

齐莲敏

【摘 要】本文通过给出线性代数课程中几类矩阵与群的关系、向量与群的关系、线性方程组的解与群的关系，说明在开放教育线性代数课程的教学工作中，在群的观点下把握与进行教学，更有利于提高教学质量。

【关键词】群;矩阵;向量;线性方程组

线性代数课程是开放教育专、本科理工类各专业学员的一门必修的重要基础理论课。线性代数与现代科技高度融合，它广泛应用于科学技术的各个领域，尤其是计算机日益发展和普及的今天。因此，提高线性代数课程的面授课教学及网上教学质量是实现开放教育基本目标的重要内容，也是提升开放教育学员科学文化素质的重要途径。

一、预备知识

一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：

1.封闭性

若a，b∈G，则存在唯一确定的c∈G，使得a*b=c;

2.结合律成立

任意a，b，c∈G，有（a*b）*c=a*（b*c）;

3.单位元存在

存在e∈G，对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;

4.逆元存在

任意a∈G，存在唯一确定的b∈G，a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^（-1）=b。

通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab。

若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。

二、群观点下线性代数教学探究

（一）群观点下矩阵的教学探究

矩阵是线性代数中的重要概念，矩阵的类型纷繁复杂、难以理清，但是采用群的观点可以很好地把握。

例1.考察m×n的矩阵构成的集合：

两个m×n的矩阵相加是m×n的矩阵，即m×n的矩阵对于矩阵的加法封闭;

若A、B、C是m×n的矩阵，则A+（B+C）=（A+B）+C，即m×n的矩阵对矩阵的加法满足结合律;

对任意m×n的矩阵A，有m×n的零矩阵0使得：A+0=0+A=A，即m×n的矩阵中存在单位元;

对任意矩阵A，有-A使得A+（-A）=0，即m×n的矩阵中每个矩阵都有逆元。

综合以上四条可知：m×n的矩阵对于矩阵的加法构成群。

例2.考察n阶可逆方阵构成的集合：

两个n阶可逆方阵相乘仍是n阶可逆方阵，即n阶可逆方阵对于矩阵的乘法封闭;

若A、B、C为n阶方阵，则A×（B×C）=（A×B）×C，即n阶方阵对于矩阵的乘法满足结合律;

对任意n阶可逆方阵A，有n阶方阵单位阵E使得：A×E=E×A=A，即n阶可逆方阵中存在单位元E;

对任意n阶可逆方阵A，有A■使得A×A■=E，即n阶可逆方阵中每个方阵都有逆元。

综合以上四条可知：n阶可逆方阵对于矩阵的乘法构成群。

由例1和例2可以推出：n阶可逆方阵对于矩阵的加法与乘法这两种运算构成环。

例3.考查n阶数量阵kE（k≠0）构成的集合：

设A、B是两个n阶数量阵，且A=kE，B=hE，则AB=（kh）E，即n阶数量阵对于矩阵的乘法封闭;

设A、B、C为n阶数量阵，且A=kE，B=hE，C=mE，则（AB）C=（khm）E=A（BC），即n阶数量阵对矩阵的乘法满足结合律;

对任意n阶数量阵kE，有E（kE）=（kE）E=kE，所以E是单位元;

对任意一个n阶数量阵kE，有k■E使得（kE）（k■E）=（kk■）E=E，所以每个数量阵kE都有逆元k■E。

由以上四条可知：n阶数量阵对矩阵的乘法构成群。

例4.考查n階对角阵构成的集合：

它对矩阵的加法封闭;对矩阵的加法满足结合律;单位元是n阶零矩阵;每个对角阵A都有逆元-A。因此，n阶对角阵对于矩阵的加法构成群。

同理可得：n阶可逆对角阵对于矩阵的乘法构成群。其中单位元为n阶单位阵E;任意n阶可逆对角阵都有逆元（主对角线上的元素取倒数）。

所以n阶可逆对角阵对于矩阵的加法、矩阵的乘法这两种运算构成环。

（二）群观点下的向量教学探究

线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题;因而，向量的教学在线性代数教学中占至关重要的位置。

例5.考察n维向量α构成的集合：

因为N维向量α对于向量的加法封闭;

对向量的加法满足结合律;

单位元是n维零向量;

每个n维向量都有逆元-α存在。

所以，n维向量对向量的加法构成群。

例6.考察n维向量组成的线性相关的向量组构成的集合G：

此集合的元素是线性相关的向量组，算法是指添加，

即：当组1={α■，α■，…，α■}，组2={β■，β■，…，β■}时，存在不全为0的数L■，L■，…，L■使得L■α■+L■α■+…+L■α■=0;存在不全为0的数k■，k■，…，k■使得k■β■+k■β■+…+k■β■=0;

那么，存在不全为0的数L■，L■，…，L■，k■，k■，…，k■使得L■α■+L■α■+…+L■α■+k■β■+k■β■+…+k■β■=0;

所以，组1+组2={α■，α■，…，α■，β■，β■，…，β■}∈G，也就是说，G对于“添加”封闭。

显然，G对于这种运算也满足结合律。

由以上两条可知：G对于“添加”构成半群。

（三）群观点下的线性方程组教学探究

例7.齐次线性方程组AX=0的解集合：

齐次线性方程组AX=0的解集合对于解向量的加法封闭。因为Aα=0，Aβ=0，必有A（α+β）=0;

AX=0的解集合对于解向量的加法满足结合律。因为Aα=0，Aβ=0，Aγ=0，则α+（β+γ）=α+（β+γ）;

AX=0的解集合中的零解为n维零向量，是解集合对加法的单位元;

AX=0解集合中的每个解向量α，都有逆元-α存在，因为Aα=0，必有A（-α）=0。

综上所述，AX=0的解集合对于解向量的加法构成群。

又因为A（α+β）=A（β+α）=0，所以AX=0解集合对于解向量的加法构成交换群。

三、结语

开放教育理工科的线性代数是其它各专业课的基础，矩阵理论、向量空间理论及线性方程组是线性代数的主要组成部分，线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

【参考文献】

[1]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978

[2]王萼芳，丘维声.高等代数讲义[M].北京：北京大学出版社，1984