一类具对数非线性项拟抛物方程解的性质

谌凤霞++佘朝兵

【摘要】本文讨论了一类具对数非线性项拟抛物方程的初边值问题.

ut-Δut=Δu=uln|u|，Ω×（0，T），

u（x，0）=u0（x），x∈Ω，

u（x，t）=0，Ω×（0，T），（1）

其中，ΩRn为有界域.首先，引入泛函及集合，应用新的方法引进了一族新的位势井；其次，应用这族新位势井得到了问题（1）整体解的存在性定理；最后，研究了问题（1）解的不变集合，证明了问题（1）在低初始能量的情况下解在无穷远处爆破的结果.

【关键词】位势井族对数Sobolev嵌入不等式；整体解；爆破解

【基金项目】课题：广东科技学院科研项目，课题编号：GKY-2016KYQN-5.

一、引言

研究问题（1）比较好的一种方法是位势井方法，由Sattinger和Payne在文献[1]中提出.针对如下问题ut-Δu=f（u），x∈Rn，t>0，u（x，0）=u0（x），x∈Rn， 若f（u）=|u|p-1u-u，Liu和Xu研究了在初始條件满足J（u0）0及J（u0）

本文所考虑的问题（1）对应的非线性为f（u）=uln|u|，因f（u）不满足其中的假设，所以上述考虑的方法对其失效.于是，本文必须引入对数Sobolev嵌入不等式，以及介绍位势井族和不变集.

二、预备知识

本文中，用‖·‖表示‖·‖2，记（u，v）=∫Ωuvdx.对于问题（1），引入如下泛函和集合：J（u）=14||

?SymbolQC@ u||2-12∫Ωu2ln|u|dx+14||u||2H10，I（u）=||

?SymbolQC@ u||2-∫Ωu2ln|u|dx，W={u∈H10（Ω）|I（u）>0，J（u）0，引入如下的泛函族：

Jδ（u）=δ4‖

?SymbolQC@ u‖2-12∫Ωu2ln|u|dx+114‖u‖2H10，Iδ（u）=δ‖

?SymbolQC@ u‖2-∫Ωu2ln|u|dx，d（δ）= infu∈NδJ（u），Nδ={u∈H10（Ω）|Iδ（u）=0，‖u‖H10≠0}.位势井族：Wδ={u∈H10（Ω）|Iδ（u）>0，J（u）

引理2.1设u0∈H10（Ω），00（<0）的弱解，则对任意δ1≤δ<δ2（1≤δ<δ1），有u∈Wδ（u∈Vδ）.

三、主要证明如下

定理3.1设u0∈H10（Ω），J（u0）

证明设{ωj（x）}是空间H10（Ω）的基函数系.利用Galerkin近似方法构造问题（1）的近似解：

um（t）=∑mj=1gmj（t）ωj（x），m=1，2，…满足

（umt，ωs）+（

?SymbolQC@ umt，

?SymbolQC@ ωs）+（

?SymbolQC@ um，

?SymbolQC@ ωs）=（umln|um|，ωs），s=1，2，…，（2）

um（x，0）=∑mj=1amjωj（x）→u0（x） in H10（Ω）.（3）

在（2）式两边乘g′ms（t），关于s求和并关于时间t在区间[0，t]上积分，这样对充分大的m，可得

∫t0‖umτ‖2H10dτ+J（um）=J（um（0）），0≤t<∞.

由（3）得J（um（0））→J（u0），

对充分大的m有

∫t0‖umτ‖2H10dτ+J（um）

由（2）和引理2.1知，当m充分大时，对0≤t<∞，um（t）∈W.从I（u），J（u）的定义及‖u‖2H10=‖

?SymbolQC@ u‖2+‖u‖2，可得J（um）=12I（um）+14‖um‖2，从而由（4）及上式可得‖um‖2<4J（um）<4M，及‖

?SymbolQC@ um‖2≤CM.

由（4）得∫t0‖umτ‖2H10dτ

∫Ω（umln|um|）2dx=∫{x∈Ω；um（x）<1}（umln|um|）2dx+∫{x∈Ω；um（x）>1}（umln|um|）2dx

≤e-2|Ω|+n-222∫{x∈Ω；um（x）<1}u2nn-2mdx≤e-2|Ω|+n-222C2*‖

?SymbolQC@ um‖2*≤CM，（5）

其中，C是Sobolev嵌入常数H10（Ω）L2nn-2（Ω）.因此，存在u∈H10（Ω）及{um}的子列仍记为{um}，当m→∞时，使得um→u于L∞（0，+∞；H10（Ω））中弱*收敛，且于Ω×[0，+∞）几乎处处收敛.umln|um|→uln|u|于L∞（0，+∞；H10（Ω））中弱*收敛.

而且，由（3）可知u（x，0）=u0（x）于H10（Ω）中.因此，u（x，t）是问题（1）的整体弱解.

定理3.2设u0∈H10（Ω），J（u0）≤M，I（u0）<0，则问题（1）的解u=u（x，t）在t=+∞处爆破.

证明设u（x，t）是问题（1）满足初始条件J（u0）

则M′（t）=‖u‖2H10=‖u‖2+‖

?SymbolQC@ u‖2且

M″（t）=2（ut，u）+2（

?SymbolQC@ ut，

?SymbolQC@ u）

=2（uln|u|+Δut+Δu，u）+2（

?SymbolQC@ ut，

?SymbolQC@ u）

=-2（‖

?SymbolQC@ u‖2-∫Ωu2ln|u|dx）=-2I（u）.（6）

由（6）式可得

M′（t）lnM′（t）-M″（t）≥[（2n+nln2π）‖u‖2H10]2≥0.

從而，得（lnM′（t））′≤lnM′（t）.（7）

由（7）式得lnM′（t）≤etlnM′（0）=etln‖u0‖2H10.因此，对t≥0有‖u（·，t）‖H10≤e12et·‖u0‖H10，上式表明u（x，t）不会在有限时间内爆破.另外，由（7）得

M″（t）=-2I（u）=-4J（u）+‖u‖2H10

=4∫t0‖u‖2H10dτ+M′（t）-4J（u0）.

并且∫t0（

?SymbolQC@ uτ，

?SymbolQC@ u）dτ2=12∫t0（‖

?SymbolQC@ u‖2）′τdτ2

=14（‖

?SymbolQC@ u‖4-2‖

?SymbolQC@ u0‖2‖

?SymbolQC@ u‖2+‖

?SymbolQC@ u0‖4）

=14（（M′（t））2-2‖

?SymbolQC@ u0‖2M′（t）+‖

?SymbolQC@ u0‖4），

M（t）M″（t）-（M′（t））2

=∫t0‖u‖2H10dτ4∫t0‖u‖2H10dτ+M′（t）-4J（u0）

-4∫t0（

?SymbolQC@ uτ，

?SymbolQC@ u）dτ2-2‖

?SymbolQC@ u0‖2M′（t）+‖

?SymbolQC@ u0‖4

≥4∫t0‖

?SymbolQC@ u‖2dτ2-∫t0（

?SymbolQC@ uτ，

?SymbolQC@ u）dτ2

+M（t）M′（t）-2‖

?SymbolQC@ u0‖2M′（t）-4J（u0）M（t）

+‖

?SymbolQC@ u0‖4.

对上式，由赫尔德不等式可得M（t）M″（t）-（M′（t））2≥M（t）M′（t）-2‖u0‖2M′（t）-4J（u0）M（t）.（8）

由（8）式可得

M（t）M″（t）-（M′（t））2

≥12M（t）-2‖u0‖2M′（t）+12M′（t）-4J（u0）M（t）

>0.

对充分大的时间t，若J（u0）

有M（t）M″（t）-（M′（t））2>0.观察到

（lnM（t））′=M′（t）M（t）>0，

（lnM（t））″=[M（t）M″（t）-（M′（t））2]M2（t）>0.

因此，lnM（t）和（lnM（t））′都是关于t≥0的增函数，从而成立如下不等式：

（lnM（t））′=（lnM（t0））′+∫t0[M（τ）M″（τ）-（M′（τ））2]M2（τ）dτ，

lnM（t）-lnM（t0）=∫t0（lnM（τ））′dτ≥M′（t）M（t0）（t-t0）.（9）

由（9）可得当t≥t0≥0时，有

M（t）≥M（t0）exp[M′（t）（t-t0）]M（t0），

因为M（0）=0，M′（0）>0，因此，我们可以取充分小的t0使得M′（t0）>2M（t0）>0.从而，对充分大的t，可得

‖u（·，t）‖2H10=M′（t）≥[M′（t0）M（t）]M（t0）

≥M′（t0）exp[M′（t0）（t-t0）]M（t0）≥Ce2t.（10）

故对充分大的时间t，由（8）和（10）可得

Cet≤‖u（·，t）‖H10≤‖u0‖H10e12et.（11）

（11）表明问题（1）的弱解u=u（x，t）在t=+∞处爆破.证毕.

【参考文献】

[1]Sattinger D H.On global solution of nonlinear hyperbolic equations[J].Arch.Rat.Mech.Anal.，1968（30）：148-172.

[2]郑晓阳，刘亚成.一类半线性热方程整体解的非存在性[J].哈尔滨工程大学学报，1998（3）：90-92.