浅谈多元函数的极限的存在性

张志会

摘 要 本文主要阐述了在计算多元函数的极限时，讨论多元函数的极限是否存在。

关键词 多元函数 极限

中图分类号：G421 文献标识码：A

0引言

一元函数的微积分，所讨论的均是单变量函数，在现实生活中，这样的情形是少数。在很多实际问题中，往往牵涉到多方面因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形，这就提出了多元函数以及多元函数的微分和积分问题。在一元函数中，如果，当且仅当，即当时，的极限存在，只需要左極限和右极限同时存在且相等即可。对于多元函数来说，极限存在的要求更复杂。要讨论极限是否存在，只有当以任何方式趋于点时，对应的函数值趋近于确定的常数A，才能说有极限。反之，如果沿着两条不同的路径趋于点，函数值趋于不同的常数，那么函数的极限不存在。本文主要阐述了在计算多元函数的极限时，要讨论多元函数的极限是否存在。

1证明极限不存在

解 显然当点沿轴趋于点时，

又当点沿轴趋于点时，

虽然点以上述两种特殊方式（沿轴或沿轴）趋于原点时，函数的极限存在并且相等。但并不存在，这是因为动点沿直线趋近于点时，有容易看出函数极限的值随的不同而改变的

例如当时，极限值为0

当时，极限值为

所以极限不存在。

2讨论极限是否存在，说明理由

解 显然，当点沿轴趋于点时，

又当点沿轴趋于点时，

虽然点以上述两种特殊方式（沿轴或沿轴）趋于原点时，函数的极限存在并且相等。但并不存在，这是因为动点沿直线趋近于点时，极限为0；动点沿直线时，极限为1，因为两个极限不相等，所以极限不存在。

参考文献

[1] 同济大学数学教研室.高等数学（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] 黄立宏.高等数学上册[M].上海：复旦大学出版社，2010.endprint