非自治常微分方程组周期解的存在性*

张申贵

（西北民族大学数学与计算机科学学院，甘肃兰州 730030）

则问题

使得

则问题（1）在Sobolev空间H1T中至少有一个周期解.

注:式（2）表明非线性项▽F（t，u（t））是线性增长的.

定理1和2中要求式（3）中极限值为+∞，即Ahmad-Lazer-Paul型强制性条件成立.易见式（3）中极限值可以是下方有界的，极限值的范围从+∞放宽为

在Sobolev空间上定义泛函φ如下:

则φ弱下半连续且连续可微，u∈H1T是问题（1）的周期解当且仅当u是泛函φ的临界点.

引理1［3］ （极小作用原理）若泛函φ:X→R弱下半连续，且φ在自反Banach空间X中强制，即当‖u‖→∞时，有φ（u）→+∞，则泛函φ在空间X中有极小值.

考虑非自治常微分方程组

其中T＞0，F:［0，T］×RN→R 满足:对∀x∈RN，F（t，x）可测，对 a·e·t∈［0，T］，F（t，x）连续可微;且存在a∈C（R+，R+），b∈L1（0，T;R+），使得

许多数学模型都可以归结为非自治常微分方程组.近年来，非自治常微分方程组周期解的存在性成为了人们研究的重要课题［1－6］.

当m=0时，文献［1］得到了下面定理:

对所有x∈RN和a·e·t∈［0，T］成立，且F满足Ahmad-Lazer-Paul型强制性条件

则问题

当m不恒等于0时，文献［2］得到了下面定理:

使得

对所有x∈RN和a·e·t∈［0，T］成立，且F满足Ahmad-Lazer-Paul型强制性条件

则问题（1）在Sobolev空间H1T中至少有一个周期解.

定理3 设F满足式（2）且

则问题（1）在Sobolev空间H1T中至少有一个周期解.

注:式（2）表明非线性项▽F（t，u（t））是线性增长的.

定理1和2中要求式（3）中极限值为+∞，即Ahmad-Lazer-Paul型强制性条件成立.易见式（3）中极限值可以是下方有界的，极限值的范围从+∞放宽为

定理1对应于定理3中m=0，且式（3）中极限值为+∞的特殊情形.

定理2对应于定理3中式（3）中极限值为+∞的特殊情形.

则φ弱下半连续且连续可微，u∈H1T是问题（1）的周期解当且仅当u是泛函φ的临界点.

引理1［3］（极小作用原理）若泛函φ:X→R弱下半连续，且φ在自反Banach空间X中强制，即当‖u‖→∞时，有φ（u）→+∞，则泛函φ在空间X中有极小值.

定理3的证明

由式（2）和式（4）、均值不等式，有

由式（5）（6），有

［1］ZHAO F K，WU X.Existence of periodic solutions for nonautonmous second order systems with linear nonlinearity［J］.Nonlinear Anal，2005，60（7）:325-335

［2］王少敏，冷天玖.关于常微分方程组周期解的存在性定理［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2007（2）:119-121

［3］MAWHIN J，WILLEM M.Critical point theory and Hamiltonian systems［M］.NewYork:Springer-Verlag，1989

［4］韩志清.共振条件下的常微分方程组2π-周期解的存在性［J］.数学学报，2000（4）:639-644

［5］王少敏.带有阻尼项的二阶哈密顿系统的周期解［J］.重庆工商大学学报:自然科学版，2011（4）:6-11

［6］HAN Z Q.Existence of periodic solutions of linear Hamiltonian systems with sublinear perturb-ation［J］.Boundary Value Probiems，2010（12）:123-131