浅析应用解析几何思维方法解题

刘大鹏

[摘 要]

探讨解析几何教学中让学生学会应用解析几何的思维方法来解决问题，引导学生归纳概括出思考解析几何问题的思维方法，分析几何对象的几何特征，从几何的背景、几何的图形及从方程、数据等代数的结论中得到几何的性质，让学生会思考，会分析和解决问题，提高学生的推理和探究能力和动手操作能力，提高学生解决解析几何问题的效率。

[关键词]

解析几何；思维方法；几何特征

平面解析几何是中学数学中独具特色的一门学科。它的基本思想简单说就是用代数方法解决几何问题。在解决有关问题时，很多学生最大的问题是没有掌握解析几何的思维方法，误以为用代数方法解决几何问题就是算。作为教师，一定要交给学生研究数学问题的思维方法，让学生会想，会思考，才是我们的教学目的，正如苏霍姆林斯基说过： “懂得还不等于己知，理解还不等于知识，为了取得更牢固的知识，还必须 思考。 ” 要交给学生审题的思维过程，要引导学生归纳概括出思考解析几何问题的思维方法。当我们面临解决一个几何问题的時候，要分析几何对象的几何特征，主要从两个方面：

一、从几何的图形中得到几何性质

如果一个点是三角形的一边上的中点，那么就可以考虑在另外的一边上取中点，用三角形的中位线的性质；如果是有关三角形的内切圆的图形，那就要分析出线段相等，角相等的有关性质。

例1.已知椭圆C：[x29+y24=1]，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则[|AN|+|BN|=] .

分析：如图所示在[ΔAMN]和[ΔMBN]中，连接[F1K]和[F2K]，利用三角形的中位线的性质可知[AN+BN]=[2F1K+F2K]=12

例2.已知抛物线[C]：[y2=2px，p>0]，过点M（1，0）作斜率为[3]的直线[l]交C的准线于点A，[l]和抛物线C交于点B，使得[AM=MB]，则[p]值为 .

解析：如图作直线BD垂直于准线，交准线于点D，连接BM，显然DM是[ΔABD]斜边的中线，有DM=BM，由题意可知，[∠DBM=600]可得DB=BM，由抛物线定义可知点M为抛物线的焦点，所以[p]值为2.

例3.设[A，B]分别为椭圆[x2a2+y2b2=1（a，b>0）]的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且[x=4]为它的右准线。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设[P]为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线[AP，BP]分别与椭圆相交于异于[A，B]的点[M、N]，证明点[B]在以[MN]为直径的圆内.

分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力，证明点[B]在以[MN]为直径的圆内，先从图中可以看到只需证明∠MBN为钝角，继续观察发现证明∠MBP为锐角更能减少运算量，先分析几何特征，简化代数运算，达到事半功倍的效果.

二、从方程、数据、代数结论中得出几何性质

训练学生如何从方程、数据等代数的结论中得到几何的性质。学生缺乏从代数结果中分析几何性质的意识和能力，也就是要交给学生提出问题、思考问题的方法。在解析几何的习题教学中，如何分析题目，让学生学会理解问题是最为重要的。分析的思维方法要符合解析几何的思维特点。

例4.设[m∈R]，过定点[A]的动直线[x+my=0]和过定点[B]的动直线[mx-y-m+3=0]交于点[P（x，y）]，则[|PA|?|PB|]的最大值是____________.

分析由直线方程可以分析出两直线[x+my=0]和[mx-y-m+3=0]垂直，并分别过定点[A0，0B1，3]，对于此题目中的方程要学会分析它的几何含义，然后用均值不等式或三角函数知识解之.

例5.直线[l：x+my-1=0]与过A（1，2）与B（-3，4）的线段相交，求[m]的取值范围.

分析：这道题目可以从斜率的角度进行计算，从几何特征的角度看，A，B两点与直线的位置关系是分析的要点.即A，B两点在直线[l]的两侧.而这个特征的代数化就非常简单，只要把两点坐标带入到直线方程的左侧所得到的两个数值乘积小于等于零

解：[1+2m-1-3+4m-1≤0]解得[0≤m≤1]

例6.在平面直角坐标系[xOy]中，P为双曲线[x2-y2=1]右支上的一个动点.若点P到直线[x-y+1=0]的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .

作为教师要让学生真正地理解解析几何这门学科的思维特点，要教给学生如何思考、理解一个解析几何的问题。在解析几何的教学中，如何分析题目，让学生学会理解问题是最为重要的。对于题目中的几何元素，要会分析它的几何特征并进行有效的代数化；对于题目中的代数的结论如方程或数值，要学会分析它的几何含义，提高学生解决解析几何问题的效率。学生在老师引导下，主动积极地参与学习，获取知识，发展思维能力，让学生经过猜疑、尝试、探索、失败，进而体会成功的喜悦，达到真正地学。

[参 考 文 献]

[1]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]黄燕玲.浅析解析几何的数学方法论特点[J].河池师范高等专科学校学报，2000（2）.

[3]吕林根，张紫霞，孙存金.解析几何学习指导丛书[M].北京：高等教育出版社，1988.

（责任编辑：张华伟）endprint