建立数学模型优化学生数学学习

朱 桢

（江苏常州市武进区星辰实验学校，江苏常州 213161）

引 言

在数学教学过程中通过数学建模，可以加深学生对数学知识和方法的理解和掌握，调整学生的知识结构，深化知识层次，同时对培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决现实问题的能力有着重要的作用。那么如何在数学教学中利用数学模型帮助学生准确清晰地理解数学知识、方法和意义，体现数学教学的育人价值呢？我结合几位老师讲授的《乘法分配律》这节课谈谈自己的一些思考。

一、建立直观模型促使学生理解新知

⒈建立直观图形模型促使学生理解新知

[案例]师：大宝和小宝进行劳动体验，大宝和小宝都分到了两块地（如图所示）

师：你能提出什么数学问题？

生：大宝的地一共有多少平方米？

师：你能列出综合算式吗？

生：（8+3）×5或者8×5+3×5。

师：你能说说是怎么想的吗？

生：第一种方法先算出两块地的面积再相加，第二种方法是两块地合并在一起先求出一共的长和宽再相乘。（课件演示）

师：这两种方法有什么不同之处？

生：一种是分开算，一种是合起来算。

师：这两题的结果相等吗？结果相等我们可以用“=”连接成等式。

师：小宝的两块地可以分开算吗？可以合起来算吗？用两种方法计算。

师生交流：（4+5）×7或者4×7+5×7。

师：妈妈也有两块地：你能算出妈妈的两块地的面积吗？

生：9×8+6×4。

师：妈妈的两块地能合起来算吗？为什么？

生：不能，妈妈的两块地没有相同的边。

师：乘法分配律我们可以用字母(a+b)×c=a×c+b×c来表示，把a、b、c放到拼成的长方形中（如图），你能找到它们的位置吗？

（学生在图中指出a、b、c的位置）

[思考]本节课中教师利用两个有一条边相等的长方形帮助学生初步建立一个直观模型，借助两次对比，让学生明确只有两个长方形中有一条相同的边时才能采用分开算和合起来算两种算法。这一直观模型初步感知乘法分配律中一个乘数是相同的这一结构特征。在学生提炼出乘法分配律的字母模型之后，教师再次出示直观的图形模型，用图形模型来帮助学生理解字母模型，帮助学生加深对乘法分配律的掌握和理解。

[案例]《乘法分配律》的课前导入。

师：老师第一次来到我们的学校上课，你们也是第一次和老师一起上课，为了我们的第一次合作顺利我们一起来握个手。如果老师分别和你们每个人握手时间来不及，所以你们伸出手一起和老师来握3次好吗？（师生一起伸出手握3次）

师：为了表示对我们听课老师的欢迎，我们也一起和在座的听课老师握3次手。（学生和听课老师一起伸出手握3次）

师：刚才我们握手的时候可以是老师分别和你们每个人握，也可以你们合起来一起伸出手和老师握。

[思考]师生之间的握手有两种方式，老师分别和每个人握手我们称为“一般握手”，学生合起来和老师一起握手看成“超级握手”。课前教师利用和学生握手这一直观动作，不仅和学生产生了很好的互动，调动了学生参与学习的热情，而且调动了学生已有的生活经验，在“现场表演”的过程中，帮助学生理解乘法分配律中合起来乘和分别乘的本质特点。构建起乘法分配律的直观动作模型。

二、建立符号模型发展学生抽象思维

[案例]

师：观察下面两组等式有什么特征？

(55+45)×5=55×5+45×5 (5+10)×32=5×32+10×32

生1：有3个不同的数，有÷和×。

生2：都有相乘的乘数。

生3：左边的算式是合起来算，右边的算式是分开算。

生4：左边先算和再算积，右边先算积再算和。

师：具有这样特征的算式是不是都相等呢？

生：是的。

师：这只是我们的猜测，我们还要举例验证。

师生交流学生举出的两个例子：

（6+4）×5=6×5+4×5 （5+5）×12=5×12+5×12

师：（6+80）×3你能猜出它的另一个式子吗？7×※+3×※呢？

师：你们写出不相等的例子了吗？

生：没有。

师：看来这样特征的式子都相等不是偶然的，你能把这个规律表示出来吗？出示学生的表达式，师生交流想法。

师：我们可以用字母式子来表示发现的规律：（a＋b）×c=a×c＋b×c（板书）。这就是我们今天所要学习的乘法分配律。（揭题）

[思考]课中学生经历了“观察猜想—举例验证—猜出算式—表示规律”的过程，构建了简单的数学模型。用语言来表达乘法分配律对于学生来说比较困难，所以老师要求学生用自己喜欢的方式表达运算律，这样学生在对乘法分配律之数学模型的抽象概括的基础上建立了乘法分配律符号模型。

三、建立思维模型帮助学生提炼方法

[案例]本节课教师通过以下四个环节完成。第一，通过解决“一件上衣65元，一条裤子45元，买5套服装要多少元？”和“一张垫子长20分米，宽15分米，另一张垫子长15分米，宽10分米，拼成长方形垫子面积有多大？”这两个实际问题得出两组等式，让学生在解决实际问题中初步发现规律。第二，学生举例验证自己的猜想，从而得出乘法分配律这个结论，让学生经历整个探索过程，从而对这一运算律有了全面的认识。第三，设计多层次的练习，使学生在练习中进一步深入理解规律。第四，通过总结反思对这一规律进行拓展：研究两个数的差与一个数相乘；研究三个数的和与一个数相乘。并让学生利用研究乘法分配律的方法进行验证。最后教师再次引导学生根据乘法分配律，产生相关联想。

[思考]本节课学生经历了“解决问题—发现规律—举例验证—得出结论—实践运用—拓展联想”的探索过程。通过观察、比较、分析、抽象等活动让学生透过现象抽象、概括其本质形成数学模型。在最后的拓展联想中，学生利用这种数学思维模型探究新的分配律的模型，在建模的过程中创生出新的规律。

结 语

小学数学教学中要重视数学建模的教学。在日常的教学中，我们要有意识地创设问题情境，渗透建模思想，还要在实践、探索、运用中形成建模能力，使学生所学知识更系统、更完整，从而应用数学模型解决实际中的复杂问题。

[1]教育部基础教育课程教材.义务教育数学课程标准（2011版）解读[M].北京：北京师范大学出版集团，2012.