平面向量数量积的运算策略

卓晓萍

【摘要】平面向量是高中数学知识的一个交汇点，它融数、形于一体，是沟通代数、几何、三角函数的有力工具.平面向量的引入大大拓宽了解题的思路和方法，它沟通了“数”与“形”，是数形结合的典型范例;可以刻画向量的投影、长度、面积、体积等度量问题，还可以像数、字母一样进行运算，是培养学生数学运算、直观想象和逻辑推理素养的载体.

【关键词】平面向量数量积

平面向量的数量积运算是高中数学重要内容，也是高考的重要考点，经常出现在选择填空的压轴题中，近几年高考命题的频率比较高，不仅考查了平面向量的基础知识、基本技能、基本思想方法同时还考查了运算能力、逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.考生在处理这类问题时，经常感到无助，不知从何处入手，学生对平面向量的概念和性质往往理解不够，随便套用实数、平面几何的性质，从而导致解题失误.解题过程如何快捷有效，重在让解题方法形成方法论.通过对近几年各个省份有关平面向量数量积问题的高考题和模考题进行了系统的整理，本文以2016四川高考（10）的变式为例，说说平面向量数量积运算的策略.

例 平面内，等边△ABC边长为23，|AP|=1，PM=MC，求BM·BC的取值范围.

向量的数形双重身份为作图提供了依据，平面向量基本定理的课堂教学为向量转化提供了直觉，数学的化简意识为转化的选择提供了方向.

分析

什么是数量积？首先考虑定义法.BM·BC=|BM|·|BC|·cos〈BM，BC〉，根据定义，求两向量的模和夹角或者从几何定义即从投影的角度分析，因点P运动带动点M运动，|BM|，〈BM，BC〉都是变量，而且它们之间相关关系不明朗，从投影的角度出发也不能直观看出其变化规律，因此，难点突破的关键是：如何表达M点的变化，点M的变化是否有规律？

解法（一） 基向量法.用主动点、已知点表达点M的变化规律.解题难点是M点的变化，而点M变化源头是点P的变化，点P变化特征已知.根据平面向量基本定理，BM=12（BC+BP）.把BM转化成BC和BP，接下来是否具有可操作性？BP是否显性展示了点P的运动特征？BP是否可以优化转化？BP=BA+AP，AP模確定，信息量优于BP.

BM·BC=12（BP+BC）·BC=12（BA+AP+BC）·BC=12BA·BC+12BC2+12AP·BC=12×23×23×12+12×23×23+12|AP|×|BC|×cosθ=3+6+12×23×cosθ，θ∈[-π，π]，

∴BM·BC∈[-3+9，3+9].

解法（二） 坐标法.通过坐标关系表达点M的变化特征.在题目现有条件下建立坐标系是否可行？如何建立？突破点是表达点P的坐标.思考方向是点P的轨迹方程，即点P的坐标关系清晰，点B，C坐标简洁易表达，因此，以a点为原点建立平面直角坐标系，其中x轴与BC平行.

由|AP|=1得点P的轨迹方程是x2+y2=1，C（3，-3），B（-3，-3），设点M（x，y），

x2P+y2P=1，xP+3=2x，yP-3=2yx-322+y+322=14，①

点M的轨迹是以点32，-32为圆心，以12为半径的圆.

BM·BC=（x+3，y+3）·（23，0）=23x+6.②

由①得x∈-12+32，12+32，

BM·BC∈[-3+9，3+9].

下面是解题思维导图：

平面向量基本定理为我们用活向量提供了机会，基向量法是解决向量数量积问题的一个基本法，把未知向量转化为已知向量，渗透化归转化思想.在扎实概念定理基础之上进行方法系统化，有利于学生升华理解，开阔思维，在新的探究中积极主动的进行实践，达到融会贯通，触类旁通，形成自己的学习策略，最终落实了逻辑推理、数学运算、直观想象等数学核心素养.

平面向量基本定理为向量的解题提供了工具，平面向量基本定理的自然又严谨的过程性教学，为定理的理解奠定了扎实的根基和思维方式，在新知的教学过程中创造培养数学核心素养的途径，各个环节落实到位，引领学生感悟数学的本质，引导学生用“数学的方法”学新知，用“数学的眼光”看世界，逐步形成适应个人终身发展和社会发展需要的数学思维品质和关键能力，也有利于提升教师的智慧和教学的有效性，从而打造“智慧课堂”，创设“幸福校园”.