几何代数巧转化，数形结合是法宝

苏汉杰

从近几年高考来看，解析几何无论在文科还是理科中，占的分量都是比较重的，因此，应该引起大家足够的重视，下面我们来谈谈解析几何的复习备考方法和策略.

一、形化數，数化形，数形结合是法宝

例1 （2016·北京理13）双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a=_____.

解析 根据正方形的几何性质可知，双曲线的半焦距为22，渐近线的方程为y=x，所以a=2.代数到几何的准确转化是解决本题的关键.

例2 （2017·北京文11）已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是______.

解析 把本题的代数描述转化为几何直观，是求直线x+y=1在x轴正半轴和y轴正半轴之间部分上的点到原点距离的平方的取值范围，所以答案为12，1.本题也可以转化为函数的问题来解决.但是，代数到几何的转化使得本题的解决变得更加容易和具有几何意义.

例3 （2017·北京理11）在极坐标系中，点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为（1，2），则|AP|的最小值为______.

解析 把极坐标方程转化为直角坐标方程：（x-1）2+（y-2）2=1，所以，圆心为（1，2），半径为1的圆上的点到点P（1，0）的最小距离是1.熟练进行极坐标与直角坐标之间的转化非常重要.

二、分“析”几何特征，转化代数求“解”

例3 （2015·北京理19）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为22，点P（0，1）和点A（m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.

（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）;

（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标;若不存在，说明理由.

分析 第（Ⅱ）问要先根据题目的叙述一步步将图形完成（如图所示），然后将两个角相等转化为两个角的三角函数值相等或两个三角形相似，最后就可以利用边的关系来表示，利用代数方法就可以把问题解决了.

解 （Ⅰ）椭圆C的方程为x22+y2=1，直线PA的方程：y=n-1mx+1，令y=0，可得x=m1-n，所以点M的坐标是m1-n，0.

（Ⅱ）点B与A关于x轴对称，所以B（m，-n），直线PB的方程：y=-n-1mx+1，令y=0，所以可得x=m1+n，则Nm1+n，0，

因为∠OQM=∠ONQ，所以tan∠OQM=tan∠ONQ，

所以|OM||OQ|=|OQ||ON|，即|OQ|2=|OM||ON|，

因为|OQ|2=|OM||ON|=m1-n2·m1+n=m21-n2，

又点A（m，n）（m≠0）在椭圆C上，所以m22+n2=1，

即1-n2=m22，所以|OQ|2=m2m22=2，得Q（0，±2）.

例4 （2017·海淀期末理18）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：x2a2+y2b2=1（a>b>0）上的两点.

（Ⅰ）求椭圆G的离心率;

（Ⅱ）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直径的圆经过点A，求直线l的方程.

分析 第（Ⅱ）问，对“以BC为直径的圆经过点A”认真分析，并将其转化为几何等式关系，最终用代数方程表示出来，进行代数运算，是解决这个问题的关键.

解 （Ⅰ）椭圆G的方程为x212+y24=1，

所以离心率是e=ca=63.

（Ⅱ）法1：因为以BC为直径的圆经过点A，

所以AB⊥AC，x212+y24=1，

由斜率公式和A（0，2），B（3，1）可得kAB=-13，

所以kAC=3，

设直线AC的方程为y=3x+2.

由y=3x+2，x212+y24=1， 得7x2+9x=0，

由题设条件可得xA=0，xC=-97，

所以C-97，-137，

所以直线BC的方程为y=23x-1.

法2：因为以BC为直径的圆经过点A，所以AB⊥AC，

由斜率公式和A（0，2），B（3，1）可得kAB=-13，

所以kAC=3，

设C（xC，yC），则kAC=yC-2xC=3，即yC=3xC+2.①

由点C在椭圆上可得x2C12+y2C4=1.②

将①代入②得7x2C+9xC=0，

因为点C不同于点A，所以xC=-97，

所以C-97，-137，

所以直线BC的方程为y=23x-1.

法3：当直线l过点B且斜率不存在时，可得点C（3，-1），不满足条件.

设直线BC的方程为y-1=k（x-3），点C（xC，yC）.

由y=kx+1-3k，x212+y24=1，

可得（3k2+1）x2+6k（1-3k）x+3（1-3k）2-12=0，

显然Δ>0，此方程两个根是点B和点C的横坐标，

所以3xC=3（1-3k）2-123k2+1，即xC=（1-3k）2-43k2+1，

所以yC=-3k2-6k+13k2+1，

因为以BC为直径的圆经过点A，所以AB⊥AC，

即AB·AC=0.AB·AC=36k2-12k-83k2+1=0，

即（3k-2）（3k+1）=0，k1=23，k2=-13，

当k2=-13时，即直线AB，与已知点C不同于点A矛盾，

所以k1=kBC=23，所以直线BC的方程为y=23x-1.

直线与圆锥曲线的位置关系是高中解析几何的重点，也是高考的热点，主要涉及位置关系的判定、弦长问题、中点弦问题、最值问题等知识点，突出考查数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想，要求同学们具有较高的分析问题、解决问题的能力，在充分分析几何条件的基础上，将几何问题代数化，通过代数计算得出结果，最后再将代数结果转化为几何结论.