解析函数的概念及其分析

王文姬

【摘要】本文介绍了解析函数的相关概念、解析函数的几种等价定理及其证明，由此加深对解析函数的理解.

【关键词】解析函数;柯西-黎曼方程

一、解析函数的定义

定义1 如果函数w=f（z）在区域D内每一点都可微，则称f（z）为区域D内的解析函数（全纯函数或正则函数），或称f（z）在区域D内解析.

为了叙述上语言的简洁，我们常用以下的说法：

1.函数f（z）在一点z0解析，意味着f（z）在点z0的某一邻域内解析;

2.函数f（z）在闭域D上解析，意味着f（z）在某一包含闭域D的区域内解析;

3.函数f（z）在曲线L上解析，意味着f（z）在某一包含曲线L的区域内解析.

定义2 若函数f（z）在点z0不解析，但在z0的任一邻域内总有f（z）的解析点，则称z0为函数的奇点.

二、解析函数的几个等价定理及其证明

熟知解析函数的概念和解析函数的等价定理的证明是很有意义的.接下来以解析函数的概念为出发点，总结解析函数的3个等价定理.

定理1 函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件是：（1）二元函数u（x，y）及v（x，y）在区域D可微;（2）u（x，y）及v（x，y）在D内满足柯西-黎曼方程，即：ux=vy，uy=vy.

证明 必要性.设f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内有意义，并且f（z）在D内一点z=x+yi可导，则对于充分小的|Δz|=|Δx+iΔy|>0，有f（z+Δz）-f（z）=f′（z）Δz+ρ（Δz）Δz，其中 limΔz→0ρ（Δz）=0，令f（z+Δz）-f（z）=Δu+iΔv，f′（z）=a+ib，ρ（Δz）=ρ1+iρ2.

所以Δu+iΔv=（a+ib）（Δx+iΔy）+（ρ1+iρ2）（Δx+iΔy）

=（aΔx-bΔy+ρ1Δx-ρ2Δy）+i（bΔx+aΔy+ρ2Δx+ρ1Δy）.

于是Δu=aΔx-bΔy+ρ1Δx-ρ2Δy，Δv=bΔx+aΔy+ρ2Δx+ρ1Δy.

由复变函数存在的充要条件可知，当 limΔz→0ρ（Δz）=0，有 limΔx→0Δy→0ρ1=limΔx→0Δy→0ρ2=0.

因而u（x，y）与v（x，y）在点（x，y）可微，且满足方程

ux=vy，uy=-vx.

充分性.由于f（z+Δz）-f（z）=u（x+Δx，y+Δy）-u（x，y）+i[v（x+Δx，y+Δy）-v（x，y）]=Δu+iΔv.

又因为u（x，y）与v（x，y）在点（x，y）可微，于是

Δu=uxΔx+uyΔy+ε1Δx+ε2Δy，Δv=vxΔx+vyΔy+ε3Δx+ε4Δy，

其中 limΔx→0Δy→0εkΔx+εkΔy=0，k=（1，2，3，4）.

因此f（z+Δz）-f（z）=ux+ivxΔx+uy+ivyΔy+（ε1+iε3）Δx+（ε2+iε4）Δy.

由柯西-黎曼方程ux=vy，uy=-vx=i2vx.

f（z+Δz）-f（z）=ux+ivx（Δx+iΔy）+（ε1+iε3）Δx+（ε2+iε4）Δy.

f（z+Δz）-f（z）Δz=ux+ivx+（ε1+iε3）ΔxΔz+（ε2+iε4）ΔyΔz.

因為ΔxΔz≤1，ΔyΔz≤1，

limΔz→0（ε1+iε3）ΔxΔz+（ε2+iε4）ΔyΔz=0.

所以f′（z）=limΔz→0f（z+Δz）-f（z）Δz=ux+ivx.

即函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在点z=x+yi可导.

定理2 函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件是：（1）ux，uy，vx，vy在D内连续;（2）u（x，y），v（x，y）在D内满足C-R条件.

证明 必要性.f（z）在区域D内解析，由解析的无穷可微性知，f′（z）必在D内连续，因而ux，uy，vx，vy一定在D内连续，再根据定理2必要性的证明易知C-R条件成立.

充分性.由ux，uy，vx，vy在区域D内连续，那么根据二元函数可微的充分条件能够得到，函数u（x，y），v（x，y）在区域D内可微，则根据定理2可知，f（z）在区域D内解析.

定理3 函数f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析的充要条件是：在区域D内v（x，y）是u（x，y）的共轭调和函数.

证明 必要性.因为f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在区域D内解析，则由C-R条件得2ux2=2vyx，2uy2=2vyx，

因为2vxy与2vyx在D内连续，它们必然相等，所以在D内有2ux2+2uy2=0，

同理，在D内有2vx2+2vy2=0，即u（x，y）及v（x，y）在D内满足拉普拉斯方程.

由于u（x，y）及v（x，y）在D内有二阶连续偏导数，并且满足拉普拉斯方程，因此u（x，y）及v（x，y）为区域D内的调和函数，由于u（x，y）及v（x，y）在区域D内满足C-R方程，所以u（x，y）是v（x，y）的共轭调和函数.

充分性.由于在D内v（x，y）是u（x，y）的共轭调和函数，因此u（x，y）及v（x，y）是调和函数，所以满足拉普拉斯方程，也就是连续，由于u（x，y），v（x，y）满足C-R方程，所以f（z）在D内解析.

【参考文献】

[1]冯志新，沈永祥.复变函数论[M].北京：北京大学出版社，2012.

[2]梁会.解析函数的几个等价条件的证明及其应用[J].毕节学院学报，2010（4）：49-51.

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