定积分的计算及应用

吕思宇

【摘要】定积分在自然科学和生产实践中有着广泛的应用，是数学分析中的一个基本问题，定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题.本文从定积分的定义出发，将数学中出现的定积分经典类型进行了总结，帮助我们理解积分的概念.

【关键词】计算方法;定积分;极限

一、定积分的概念

设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点，把区间[a，b]分成n个小区间，当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数在区间[a，b]上的定积分，记作∫baf（x）dx，即∫baf（x）dx=I=limλ→0∑ni=1f（ξi）·Δxi.

二、定积分的意义

（一）几何意义

设y=f（x）≥0且在[a，b]上连续，若f（x）为曲线，则∫baf（x）dx表示[a，b]上曲边梯形的面积.

（二）物理意义

设y=f（x）≥0且在[a，b]上连续，若f（x）为速度，则∫baf（x）dx表示[a，b]上变速运动的路程.

三、定积分概念的应用及推广

1.可以把积分区间[a，b]推广到无限区间上，如[a，+∞）等，或者，函数推广到无界函数，也就是广义积分.

2.可以把积分区间[a，b]推广到一个平面区域，被积函数为二元函数，那么积分就是二重积分;同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分.

（一）积分的计算方法

定义法：定积分的定义法计算是运用极限的思想，简单地说就是分割求和取极限.任意分割任意取值所计算出的i值如果全部相同的话，则定积分存在.

第一步：分割.

将区间[a，b]分成n个小区间，一般情况下采取等分的形式.h=b-an，那么分割点的坐标为（a，0），（a+h，0），（a+2h，0），…，（a+（n-1）h，0），（b，0），ξk在[xk-1，xk]任意選取，但是我们在做题过程中会选取特殊的ξk，即左端点，右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小长方形.

第二步：求和.

计算n个小长方形的面积之和，也就是∑nk=1f（ξk）h.

第三步：取极限

I=limh→0∑nk=1f（ξk）h=hlimh→0∑nk=1f（ξk），h→0即n→∞，也就是说分的越细，那么小曲边梯形就越接近小长方形，当n趋于无穷之时，小曲边梯形也就是小长方形，那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积，也就是定积分的积分值.

（二）牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式很好地把定积分与不定积分联系在一起.利用此公式，可以根据不定积分的计算计算出定积分.这个公式要求函数在区间内必须连续.求连续函数的定积分只需求出的一个原函数，再按照公式计算即可.

定理 若函数f（x）在区间[a，b]连续，且F（x）是f（x）的原函数，则∫baf（x）dx=F（b）-F（a）.

例1 用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分∫10xdx.

解 原式=12x210=12.

总结：我们知道，不定积分与定积分是互不相关的，独立的.但是在连续的条件下，微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来，这是数学分析的卓越成果，有着重大的意义.同样的一道题目，用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单.

四、定积分的换元积分法

应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分，首先求被积函数的原函数，其次再按公式计算.一般情况下，把这两步截然分开是比较麻烦的，换元积分法解决了这一问题.

例2 求定积分∫21lnxdx.

解 ∫21lnxdx=xlnx|21-∫21xdlnx=2ln2-0-x|21=2ln2-1.

总结：因为u（x），v（x）在[a，b]有连续导函数，并且u（x）易求微分，v（x）容易被计算出来时用分部积分法比较简单.

五、定积分在数学中的应用

（一）概率问题

例3 在区间[-1，1]上任取两数a，b，求方程有两个正根的概率.

解 由题意，样本空间Ω={（a，b）|-1≤a≤1，-1≤b≤1}表示边长为2的正方形区域，面积SΩ=4.要使方程两根均正，需

Δ=4a2-4b≥0，x1+x2=2a>0，x1x2=b>0， 即a2≥b，a>0，b>0.

记方程有两正根为事件A，它对应的区域是由抛物线b=a2，直线a=1和a=0围成的，于是SA=∫10a2da=13.所以P（A）=SASΩ=112.

总结：用定积分求概率问题更多是把问题分为样本空间区域求其覆盖面积，并且找到所求事件的空间区域求其面积，从而求出题目所要求的概率问题，运用了最基本的方法来运用到较复杂问题上.

【参考文献】

[1]辛春元.定积分的应用研究[J].现代商贸工业，2011（11）：262-263.

[2]华东师范大学数学系.数学分析：第5版[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3]李迪.中外数学史教程[M].福州：福建教育出版社，2012.

[4]同济大学数学系.高等数学：第4版[M].北京：高等教育出版社，2011.