数列极限概念的教学法研究

何天荣+王兆春

摘 要：极限理论是《数学分析》课程的理论基础及研究工具，极限理论贯穿于《数学分析》课程的始终，学好极限就为学好数学分析打好了理论基础。据笔者多年教授《数学分析》课程的经验，发现学生对极限理论的学习有畏难情绪。究其原因有两点：一是极限概念的分析语言太抽象、涉及的符号多，难以理解；二是极限概念是一个动态的、无限的概念，比初等数学静态的、有限的概念抽象。本文从透彻理解极限概念的分析语言入手，阐述极限概念的教学方法。

关键词：数列极限；分析语言；数学分析

一、 极限在《数学分析》课程里的地位和作用

极限理论是数学分析课程的理论基础和研究工具，数学分析中许多概念如连续、导数、偏导数、定积分、重积分、曲线积分和曲面积分都以极限作为理论基础定义的；反常积分通过化归思想转化成正极限和定积分来解决的；数项级数按定义的收敛性判别法及求和也是通过极限的化归思想解决的。极限理论在数学分析课程中既是理论基础又是贯穿课程始终的桥梁，数列极限是极限理论的基础，是进一步学好函数极限的保证。

二、 数列极限概念的教学方法

描述性的概念：对于数列{an}，当n无限增大时，如果an无限地接近于某个常数a，就称数列{an}以a为极限，或者称数列{an}收敛于a。描述性的概念通俗易懂，但不能精确地描述极限概念，于是就有了数列极限的“ε-N”定义。

精确定义（“ε-N”定义）：设{an}为数列，a为定数。（1）若对任给的正数ε，（2）总存在正整数N，（3）使得当n>N时，（4）有|an-a|<ε，则称数列{an}以a为极限，或者称数列{an}收敛于a。

数列极限的“ε-N”定义虽说是精确定义，但对于初接触本概念的同学来说太抽象，如果没有老师的透彻讲解那是根本不能理解的。据笔者多年讲授本课程的经验，一定要花大力气在概念的讲解上，只有透彻理解了数列极限的概念才能为数列极限的性质的证明、函数极限的概念及性质和后续许多知识的学习打好理论基础。

在讲授数列极限的“ε-N”定义时把握好描述性定义中的两个“无限接近”，一是n无限增大，二是an无限地接近于某个常数a。而这两个中的每个“无限接近”又通过“ε-N”定义精确定义中的两句话来解释：数列{an}以a为极限首先要满足an无限地接近于常数a，刻画这句话我们首先任给一个正数ε（无论多小），让an与a的距离任意小，即|an-a|<ε，因为ε是一个任意小的正数，而an与a的距离比ε还小，这就说明an与a的距离任意小也就精确刻画了an无限地接近于常数a，对应“ε-N”定义中的第（1）和（4）句话；第二个“无限接近”是n无限增大，我们刻画这句话也是对应“ε-N”定义中的两句话：总存在正整数N，使得当n>N时，对应“ε-N”定义中的第（2）和（3）句话，应该如此讲解：首先N是一个确定的正整数，它对应数列的第N项，即aN，第（3）句话“n>N时”表示的是数列中N以后的所有项即aN+1，aN+2…满足（4）的不等式即|an-a|<ε，即不等式中的n表示N+1，N+2…。

理解数列极限的概念首先要直观地熟悉描述性的定义，其次是要把描述性的定义（两句话即两个“无限接近”）用分析语言精确刻畫，每个“无限接近”对应于“ε-N”定义中的两句话，而分析定义中的四句话间又是逻辑紧密联系的：任取的ε是为了刻画an与a的距离任意小，N是为了刻画它之后的项能满足|an-a|<ε。

特别要注意的是几个抽象符号的理解：ε是一个任意小的正数，一般取（0，1）之间的数，2ε，ε，ε2等等也表示任意小；N是一个有限的正整数，在理论证明中是需要我们找出来的，N是依赖于ε而存在的，即ε越小，找到的N就越大，同时，N并不唯一，在找到满足条件的某个N时，凡是比N大的正整数都可以取作N或者说越大越能满足条件。

根据概念证明极限时要从第（4）句话入手，假设|an-a|<ε的前提下找N，证明的关键在于找N，证明过程的原则是适当放大的原则。

三、 结语

极限是《数学分析》课程中最重要的概念之一，而数列极限又是函数极限的基础，所以，一定要下大工夫讲透数列极限的概念，只要能够深刻理解数列极限，对数列极限的性质及函数极限的概念和性质的理解就自然轻松了。

参考文献：

[1]华东师大数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者简介：

何天荣，王兆春，云南省丽江市，丽江师范高等专科学校教师教育学院。endprint