如何求解斜面的机械效率

龙维利 宋谋胜

摘 要 通过具体例题分析差异化的斜面机械效率，进而对有用功、总功进行明确界定，有助于加深学生对斜面机械效率的理解和正确求解。

关键词 斜面机械效率；教材；物理

中图分类号：G652 文献标识码：B

文章编号：1671-489X（2018）12-0109-03

1 前言

机械效率是八年级物理“简单机械”章节的重要部分，作为非常具有实用性的知识点，在人们的日常生活中有着广泛应用[1]。八年级物理中通常运用滑轮组、斜面和杠杆等机械提升物体的三个实验来演示机械效率[2]，而滑轮组和斜面机械效率的计算又常常在中考中出现。机械效率与做功紧密相关，但学生在计算机械效率时往往易混淆有用功、总功和额外功等概念[3]，遇到具体问题时常常不知道该选择哪一个公式进行计算，甚至还易将效率与功率混为一谈。本文通过对斜面机械效率的三个公式的适用条件进行分析，运用具体例题来明确界定有用功、总功，获得斜面机械效率的正确求解，从而帮助学生加深对斜面机械效率的理解。

2 斜面的机械效率

机械效率计算的关键是如何正确判断机械做功时的总功、有用功、额外功这三个物理名词的含义及其适用环境。有用功又指目的功，是为达到某项目的而必须做的功；额外功又指无用功，是为达到该项工作目的而使用机械过程中不需要但又不得不额外做的功；总功是指在达到该项工作目的过程中实际做的所有功，或机械装置在工作中消耗的总能量。机械效率则是指完成该项工作过程中，真正需要做的有用功占做的总功的百分比，它是反应机械性能优劣的重要标准之一。通常有W总=W有用+W额外，，

这表明提升机械效率的本质就是最大限度地降低额外功，从而提高有用功占总功的比例，其实是优化机械做功的效率。由于实际应用中额外功不可避免，因此总有W总大于W有用，从而使得机械效率总是小于1。

斜面作为一种最简单的机械，由于总有摩擦阻力的存在，通过斜面提升重物而对其做功时，机械效率的计算又有许多特殊之处[4]。如图1（a）所示，用平行于斜面的拉力F将重物G沿倾角θ的斜面匀速向上拉动距离S，重物升高h，已知斜面的滑动摩擦系数μ，求此过程中斜面机械效率。

对重物进行受力分析，如图1（b），因物体在拉力F作用下沿斜面匀速向上运动，根据重物受力平衡则有：

由式（4）可知，斜面机械效率与斜面倾角和滑动摩擦系数紧密相关。欲增加斜面机械效率，就得节省额外功，这可从增大斜面倾角和减少斜面摩擦两个方面着手。增大斜面倾角一方面会使物体沿斜面向下的重力分力增加，使得拉力直接作用在物体的比例增大，从而增加有用功；另一方面会使物体对斜面的正压力减少而减小滑动摩擦力，从而降低额外功。减少斜面摩擦则可直接降低拉力克服摩擦阻力而做的额外功。

3 斜面机械效率的计算实例

为了进一步加深对斜面机械效率的理解，防止计算过程中出现歧义，下面通过适当的例题来具体分析。

【例题1】重为10 N的物块在滑动摩擦因数为0.2，长L为5米，高h为3米的斜面上被力F=8 N由低端拉至顶端，斜面的倾角为37°，求该斜面的机械效率。

物块的受力分析如图2所示，根据有用功、额外功与总功的定义，此时求解该斜面的机械效率通常会有三种表达式：

为什么在相同条件下，同一斜面的机械效率用不同的表达式计算出的结果不一样？以上三种解法究竟哪一种正确？一定的机械（如一个已知斜面）有一定的机械效率，它不会因为外力改变而变化。上题中同一斜面用不同方法却解出三个不一样的值，这源于对有用功和总功的理解不透彻。

第（1）种表达式中W有用=Gh=30 J，即是将物体提升高度h克服重力做的功。第（2）种表达式中W有用=FL-fL=32 J>Gh。fL是物体运动过程中克服摩擦力而做的功，属于额外功。FL-fL=32 J>Gh，表明拉力F在同时克服摩擦而做额外功和克服重力使物体提升高度h而做有用功之外，还有一定的剩余功，该剩余的功就会转化为物体的动能，即物体运动到斜面顶端时速度增加了，而非作匀速运动。

可见，第（1）和（2）种表达式中的主要争议在于使物体速度增加所做的功是否也属于有用功。八年级物理教材中提到使用杠杆、滑轮、斜面等简单机械时是有目的的，有的为了省力，有的为了改变力的方向，有的为了省距离，可见有用是相对于所要达到的目的而言的。就斜面而言，使用斜面的目的是使物体提升高度h并且省力，斜面越长越省力。使用斜面的目的并不是使物体速度增加，所以使物体速度增加所做的功不算有用功。斜面的有用功指达到目的所做的最少功，Gh即可。

第（1）种表达式中W有用=Gh+fL=38 J，即拉力F克服物体重力而使之提升高度h和克服滑动摩擦力所做的总功（有用功+额外功）。第（3）种表达式中W总=FL=40 J>Gh+fL，即拉力做功FL除了克服物体重力而使物体提升高度h所做的有用功和克服滑动摩擦力所做的额外功之外，拉力F做功还有剩余，剩余的功转化为物体的动能，使物体到达斜面顶端时速度增加了。

可见，第（1）和（3）种表达形式中的主要争议在于使物体速度增加所做的功是否也算作總功。教材中对功的原理这样解释：“使用任何机械，动力对机械所做的功，一定等于机械克服阻力所做的功。”也就是说使用斜面时拉力F所做的功只需等于物体提升高度h而克服重力和摩擦阻力所做的功即可，若F较大，使物体运动到斜面顶端时速度增加了，那么这额外多做的功应不算作总功。这表明总功是指使用机械达到目的时至少需要做的功，此时的拉力为至少需要的拉力。若实际使用的拉力大于至少需要的拉力，那么拉力多做的那部分功不应计入总功。

通过以上分析可以看出，这三种解法中第一种是正确的。该题中加在物体上的动力只需克服重力沿斜面向下的分力mgsinθ=6 N和滑动摩擦力μmgcosθ=1.6 N即可，即需要的拉力达到7.6 N就行，而不是8 N。

【例题2】重为20 N的物块在滑动摩擦因数为0.3，长L为8米，高h为4.8米的斜面上被力F=16.8 N由底端匀速拉至顶端，斜面的倾角为37°，求该斜面的机械效率。

对物块进行受力分析，如图3所示，同样对物块使用例题1中的三个求斜面机械效率的表达式来进行求解，则有：

可见，此题用三个求斜面机械效率的公式计算的结果是一致的。仔细观察会发现，例题2中加在物体上的动力只需克服重力沿斜面向下的分力mgsinθ=12 N和滑动摩擦力μmgcosθ=4.8 N即可，即需要的拉力是16.8 N，刚好等于题中所给的拉力16.8 N。例题1中所给的拉力大于所需要的动力，物块在斜面上做非匀速运动。例题2中所给的拉力正好等于所需要的动力，物块在斜面上做匀速运动。

4 结论

通过本文对求解斜面机械效率的实例分析可知，正确理解斜面的有用功、总功是计算其机械效率的关键。求解斜面机械效率时，第（1）种表达式是普遍适用的，第（2）种表达式和第（3）种表达式在使用时是有条件的，其条件为物块在斜面上做匀速运动，此时拉力F应刚好等于克服重力沿斜面向下的分力与滑动摩擦力之和。

参考文献

[1]石浩宇.机械效率及其影响[J].科技风，2016（17）：255，257.

[2]张芳.“机械效率”教学案例及教学反思[J].北京教育学院学报：自然科学版，2012，7（4）：61-64.

[3]张生明.对“有用功、额外功、总功”三个概念的探讨[J].物理教师，1994（12）：15.

[4]高宝山.从探究斜面的机械效率说起：关于物理教学中科学探究的思考[J].中学物理教学参考，2006（7）：52-53.