一道例题的变式设计

林芬芳

摘 要：通过解决圆锥曲线中动点与焦点张角问题这一题型的变式教学，让学生领会通过问题的分析明确最重要的关系，抓住不变的本质来解决问题，促进数学思想方法内化。

关键词：圆锥曲线 变式教学

中图分类号：G633.6 文献标识码：C 文章编号：1672-1578（2017）12-0068-01

1 变换视角——培养思维的灵活性

问题1：已知椭圆 + =1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围。

大部分学生会于直接利用条件∠F1PF2为钝角？圯cos∠F1PF2<0 ？圯 1· 2<0…

这种思考方向是对的，但为了培养学生思维的灵活性，可以利用数形结合引导学生进一步思考：点P在椭圆上运动时∠F1PF2的取值会如何变化？能否为锐角？直角？通过这样的引导，有的学生就会开始意识但只要由直角再转化到圆直径进行计算并判断。

（1）当c

（2）当c=b时，以F1F2为直径的圆相切于椭圆，于是椭圆上有两个点使∠F1PF2为直角，不存在使∠F1PF2为锐角的点P。

（3）当c>b时，以F1F2为直径的圆内和椭圆有四个交点，于是椭圆上有四个点使∠F1PF2为直角，可由为直角的情形计算得出，当点P在圆内的部分的椭圆弧上时，∠F1PF2为钝角，当点P在圆外部分的椭圆弧上时，∠F1PF2为锐角，相应的点P的横坐标的取值范围。

2 变换条件——培养思维的严谨性

问题2：已知椭圆 + =1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当△F1PF2直角三角形时，求点P坐标。

在学习研究问题1后，有的学生受定势思维的影响，认为和上一题讨论的直角情形一样，没有注意到在条件“△F1PF2为直角三角形”中，不明确哪个角是直角，事实上应分为三种可能：∠F1PF2为直角，∠PF1F2为直角，∠PF2F1为直角。通过这样的改变，不仅给学生于警示效果还极大的提高了思想的批判性，这时也不难求出符合条件的8个点P。

3 开放条件——激励探究，培养思维的深刻性

问题3：已知椭圆 + =1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上的动点，试问点P在何处时，∠F1PF2最大？

本题开放问题条件，把特殊的直角转化为求最值，对学生提出了更高的要求，进一步激发了学生的探究意识，利用图形学生会猜测：点P在短轴两端点时，∠F1PF2会最大，那如何推导验证这个猜测了？不难想到余弦定理来连接角和利用椭圆的定值。接下来我们还可以改变条件，将求最值改成某个具体的定角。比如：

问题4：已知椭圆 + =1的焦点为F1，F2，点P为椭圆上的动点，试问是否存在点P，使得∠F1PF2=30°（60°，120°，θ）？如果有，有几个？如果不存在，说明理由。

圆锥曲线是高中数学的一个重要内容，涉及这方面的问题有很多变化，不能靠大量的重复练习来取得理想的效果，必须让学生理解掌握，深刻体会真正的解题思想方法，并会灵活应用，再比如：

课例1：一条长度为m（m>0）的线段AB的两个端点分别在同一个平面的两条直线a，b上移动，求直线AB中点P的轨迹。

变式1：一条长度为m（m>0）的线段AB的两个端点分别在空间的两条直线a，b上移动，求直线AB中点P的轨迹。

变式2：：一条长度为m（m>0）的线段AB的两个端点分别在空间的两条直线a，b上移动，设点P分有向线段AB所成的比为λ（0<λ<1， λ>1）求点P的轨迹。

这组题体现了解决问题的一种方法即立体几何问题平面化，平面几何问题解析化。

课例2：已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M，N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆右焦点上，则直线l的方程是（ A ）

A. 6x-5y-28=0 B. 6x+5y-28=0

C. 5x-6y-28=0 D. 5x+6y-28=0

变式1：已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M，N两点，椭圆与y轴的负半軸交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆右焦点上，则直线l的方程是（ 6x+5y-28=0 ）。

变式2：已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M，N两点，椭圆与y轴的负半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆左焦点上，则直线l的方程是（ 6x+5y+28=0 ）。

变式3：已知直线l交椭圆4x2+5y2=80于M，N两点，椭圆与y轴的正半轴交于B点，若△BMN的重心恰好落在椭圆中心上，则直线l的方程是y=-2。

本组题都是利用直线方程代入椭圆方程消元，由根与系数的关系求解，并利用点差法求直线MN的斜率与中点坐标之间的关系。