重构抛物型方程未知系数的反问题

任建龙,曾 剑,甄苇苇

(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070)

重构抛物型方程未知系数的反问题

任建龙,曾 剑,甄苇苇

(兰州交通大学 数理学院,甘肃 兰州 730070)

研究了一个在终端观测值已知的前提下重构二阶抛物型方程未知系数的反问题,基于最优控制框架,证明了控制泛函极小元的存在性及其满足的必要条件。在反问题的计算中,构造Gradient型迭代法进行数值模拟。数值结果表明该了算法的稳定性,而且未知系数反演的效果也很好。

反问题;最优控制;必要条件;Gradient型迭代法

偏微分方程在很多领域中都有重要的应用[1-3],而其反问题与正问题相比,大多具有不适定性。鉴于反问题在理论和实际应用中的重要性,近年来有许多国内外学者对这类问题进行了研究[4-6],特别是对抛物型方程的系数反演问题[7-9]进行了大量研究,并得到了一系列重要结论。本文考虑如下二阶抛物型方程的初边值问题:

(1)

其中：a(x,t)是已知光滑函数,φ(x)是满足齐次边界条件的光滑函数,q(x)是方程中的未知系数。假设给定如下终端观测条件:

u(x,T)=g(x),x∈[0,l],

(2)

其中：g(x)是可以通过测量或实验得到的观测值,利用条件(1)/( 2)来确定函数u和q。

对于精确给定的g,由方程(1)可得

(3)

但是该公式是不适定的,因为在实际应用中,观测数据的测量误差总是不可避免的,即使是输入数据的极小变化都将会引起公式(3)的一阶导数,尤其是二阶导数的巨大变化,因此公式(3)在实际中是无法使用的。

1 最优控制问题

考虑下面的最优控制问题P1:

(4)

其中

(5)

(6)

u(x,T;q)是对应于任意给定的系数q(x)∈书版无字符：0x19b方程(1)的解,N是正则化参数,α、β是两个给定的正数,并且我们断言泛函J(q)在书版无字符：0x19b中具有某种连续性。

引理1.1 对任意序列{qn}∈书版无字符：0x19b,且当n→时,‖qn-q‖L1(Q)→0,有

(7)

证明:显然泛函J(q)是非负的,从而J(q)有下确界infq∈书版无字符：0x19bJ(q),令{qn}是一个极小化的序列,即:

由J(qn)≤C,可推出

‖(qn)xx‖L2(0,l)≤C,

(8)

这里常数C是与n无关的,注意到{qn},{(qn)x}的有界性以及式(8),还可得到

‖qn‖H1(0,l)≤C,

因此可以抽取子序列,不妨仍记为{qn},使得

(9)

由Sobolev嵌入定理,可得

(10)

容易得{qn(x)}∈书版无字符：0x19b,当n→时,在L1(0,l)中有

(11)

另外,由式(9)可得

(12)

由引理1.1及{qn}的收敛性知,存在{qn}的子序列,不妨仍记为{qn},满足

(13)

由式(11)、式(12)以及式(13),可得到

2 必要条件

定理2.1 令q是最优控制问题(4)的解,则存在三元函数组(u,v;q)满足如下方程

(14)

(15)

且

(16)

对任意h∈书版无字符：0x19b都成立。

证明: 对任意h∈书版无字符：0x19b,0≤δ≤1,有qδ≡(1-δ)q+δh∈书版无字符：0x19b,

于是

令uδ为方程(1)对应于给定系数u=uδ的解。由于q是最优解,从而有

(17)

令ξ=uδ′|δ=0,则ξ满足:

令Lξ=ξt-a(x,t)ξxx+q(x)ξ,并假设v是下面方程的解:

其中：L*是算子L的共轭算子。

通过分部积分得

联立式(17)、式(18)得

定理证完。

3 迭代算法与相应的数值实验

其中：u(x,t;q)和v(x,t;q)是方程(14)/方程(15)在给定系数q(x)∈书版无字符：0x19b时的解。

综上所述，迭代算法的过程可以表述为如下步骤:

Step1：选择初始迭代值q=q0(x)。方便起见,选取q0(x)=C,x∈(0,l)。

Step2：求初边值问题(14),获得其解u0(x,t),其中q(x)=q0(x)。

Step3：解方程(15)得到v0(x,t),其中v(x,T)=u0(x,T)-g(x)。

这里φj是由下面网格确定的函数:

Step6：选取任意小的正常数ε作为误差界,终止或继续迭代由以下步骤确定:

(1)令k=1。

(3)将上述结果与0比较,如果err≤0则执行(4);否则令k=μk执行(2),μ是一个调整参数。

(4)取q1(x)=q0(x)+kC0(x),若‖kC0(x)‖≤ε,则终止迭代命令;否则令j=j+1继续执行Step2,取q1(x)为新的迭代初值并按上述规则继续计算,直到满足终止条件。

在数值实验中一些基本的参数取值如下：r=0,ε=10-4,N=10-8,a(x,t)=1。

算例1 在第一个数值实验中,取

q(x)=1+(x-0.5)2,φ(x)=1+sinx。

在不同迭代次数下对未知系数的重构如图1所示。图1中的实线表示精确解,虚线表示不同迭代次数下的结果。从图1中可以看出,初值的选取不是最完美的,但收敛情况还是较好的。

算例2 在第二个数值实验中,取

在不同迭代次数下对不连续系数的重构如图2所示。与算例1不同的是所取的系数函数q(x)是不连续的，可以发现经过20 000次的迭代后恢复的很好,尤其是在间断点处。要想得到一个好的重构效果,需要迭代更多的次数。

图1 在不同迭代次数下对未知系数的重构 图2 在不同迭代次数下对不连续系数的重构

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Inverse Problem of Reconstructing Unknown Coefficients of Parabolic Equation

REN Jianlong,ZENG Jian,ZHEN Weiwei

(Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China)

This paper investigates an inverse problem of using the final overspecified data to reconstruct the unknown coefficient of the second order parabolic equation. Based on the optimal control framework,the existence of the minimize of the cost functional is proved,and the necessary condition which must be satisfied by the minimize is deduced. In the calculation of the inverse problem,we conduct numerical simulation with the Gradient iterative method. The numerical results show that the algorithm designed in this paper is stable and that the coefficient is recovered very well.

inverse problem;optimal control;necessary condition;the Gradient iterative method

10.3969/i.issn.1674-5403.2017.03.021

O175

A

1674-5403(2017)03-0084-05

2017-04-06

任建龙(1992-),男,山西临汾人,在读硕士研究生,主要从事数学物理反问题方面的研究.