一道不等式题的空间解析几何妙解

眾所周知，不等式具有灵活多样，解法多变的特点，是日常学习与考试竞赛中的重点之一.其普遍思路以构造、证明基本不等式为主，同时也可利用参数讨论、数形结合等思想进行求解与证明.对于一些采用常规解法较为烦琐的题目，利用一些其他的思想方法进行求解可能会十分简洁明了.作者针对2015年清华大学自主招生试题中的一道选择题提出了一种利用空间解析几何的简单解法，体现数形结合思想与方法在一些不等式问题上的妙用，供大家参考.

原始题目已知x，y，z为非负实数，且满足等式4x2+4y2+z2+2z=3，求5x+4y+3z的最小值为（）.

A.1

B.2

C.3

D.4

改编题目已知x，y，z为非负实数，且满足等式4x2+4y2+z2+2z=3，求5x+4y+3z的取值范围.

一、空间解析几何巧解

思路：利用伸缩变换及空间图形关系求解.

由题目4x2+4y2+z2+2z=3，

则4x2+4y2+（z+1）2=4.

令m=2x，n=2y，p=z，

则上式写作m2+n2+（p+1）2=22，

待求式写作5x+4y+3z=52m+2n+3p.

以m，n，p为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

根据空间直角坐标系中球体方程，不难得出，m2+n2+（p+1）2=22在坐标系中的图像是以点A（0，0，-1）为球心，半径为2的球面.

∵m=2x≥0，n=2y≥0，p=z≥0，

∴仅考虑第一卦限及坐标轴正半轴的图形.

下面，计算球面与坐标轴正半轴的交点分别为B（3，0，0），C（0，3，0），D（0，0，1），交点如图所示.

以待求式构建动平面RST的方程

t=52m+2n+3p（t≥0）.

可求得在m，n，p轴上截距分别为25t，12t，13t.

不难发现，在t变化时，上述方程表示的图形为截距比恒定的一系列平行平面.

动平面与球面有交点时t值构成的集合即为t的取值范围，即为所求.

分析可知，动平面与球可能相切或相交.当相切时，恰有t满足题意且最大.

（一）求解最大值

利用点到面的距离公式d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2，

必有球心（0，0，-1）到动平面52m+2n+3p-t=0的距离小于等于半径2，即

d=|-3-t|522+22+32≤2，

解得0≤t≤77-3.

当且仅当t=77-3时，动平面与球相切，如图中平面R1S1T1，t满足题意且最大.

（二）最小值求法

在t逐渐减小的过程中，为保证球面与动平面在第一卦限始终有交点，还需满足动平面在坐标轴的截距不全小于球面在坐标轴上相应截距的大小.

则满足25t≥3或12t≥3或13t≥1即可，解得t≥3.

当t=3时，如图中平面R2S2T2与球面交于D点，t满足题意且最小.

从图中动平面RST的变化来看，不难得出，由平面R1S1T1移动至平面R2S2T2的过程中，t的取值变化连续，且单调递减.

综上所述，3≤t≤77-3，即5x+4y+3z∈[3，77-3].

二、总结与体会

我们知道，常规解法对于学生计算的精准度有较高的要求，特别是在限时考试中，对学生思考与计算的速度也是一个较大的考验；而本题的空间解析几何解法虽然在思维上要求略高，但计算颇为简洁，而且其背后所蕴含的数形结合思想也是十分值得大家深入思考与灵活运用的.具体问题具体分析，灵活运用各种数学思想，才能对于题目有更深、更多方面的理解与感悟.

注：

原始题目出处：2015年清华大学自主招生暨领军计划笔试试题.

题目改编人与常规解法提供者：中国人民大学附属中学.侯立伟，吴中才.

空间解析几何解法提供者：中国人民大学附属中石弼钊.endprint