数学概念自主学习的探索双曲线的定义与标准方程的教学实录

高志才

国际上杰出的未来学家阿尔温·托夫勒曾经有一句名言：“未来的文盲不再是目不识丁的人，而是没有学会如何学习的人.”培养学生的自主学习能力，让学生终身受益，已成为当务之急.本文就双曲线的定义与标准方程谈如何对数学概念进行自主学习.

一、以旧带新，启迪思维（2分钟）

复习：（1）椭圆的定义是什么？定义中哪些字非常关键？

（2）椭圆的标准方程是什么？a，b，c是何种关系？

（3）如何判断焦点位置？

设计意图：双曲线与椭圆有着密切的联系.为了学生更好地学习双曲线的定义与方程，先复习椭圆定义及其与定义密切相关的参数变化，既检测了学生对前面相关知识的掌握情况，同时又为双曲线概念的学习打下良好的基础.

二、设障立疑，激发动机（1分钟）

提出问题：平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？教师动画演示.

设计意图：单刀直入，开门见山提出问题，激发学生的学习兴趣，同时教给学生“由此及彼”发现问题的一种方法.

三、阅读思疑，得窥门径（14分钟）

1.布置任务：双曲线及其标准方程.

2.阅读教材：P52—55的教材“探究”之前.

3.阅读时间：14分钟.

4.思考问题：大屏幕打出问题.

（一）关于双曲线的定义

1.双曲线的定义是什么？它是怎样得来的？

2.为什么叫“双”曲线？为什么定义中要加绝对值？不加绝对值行吗？你认为双曲线的定义中有哪些要注意的问题？

3.怎样记忆定义比较通顺？采用什么方法来记忆能保持记忆的长久和理解的深刻？

设计意图：打破看懂教材，会做些题就是自主学习的旧观念.通过学习，一方面，学生要清楚所学知识的来龙去脉，弄清知识间的内在联系，明确学习的必要性；另一方面，还要熟记定义，深化对定义的理解.培养学生类比能力、辨析能力、记忆能力，發现问题、分析问题的能力，以及思维的深刻性与敏捷性.

【自我检测】

设计意图：加深学生对定义的理解，体验收获的喜悦.

（二）关于双曲线的标准方程

1.怎样“建系”来推导方程？为什么这样建系？怎样化简方程？你能在三分钟之内推导出双曲线的标准方程吗？

2.为什么叫双曲线的标准方程？双曲线的标准方程有几种？它们有什么特点？你想怎样记忆方程？怎样比较这些类型的方程？如何根据双曲线的标准方程来判断焦点的位置？方程中的a，b，c之有何关系？

3.双曲线还有其他类型的方程吗？方程的简单与烦琐取决于谁？

4.如何区别椭圆和双曲线的标准方程？

5.求双曲线的标准方程有几种方法？

设计意图：（1）通过建系的分析与思考渗透并提炼数学的对称美、和谐美、简洁美；培养学生发现问题、分析解决问题的能力以及树立求简意识.

（2）通过方程的推导培养学生由此及彼的合情推理，提高运算能力，丰富解题经验与技巧.

（3）通过对椭圆与双曲线定义与标准方程的剖析，有助于学生克服椭圆学习中的思维定式，同时培养学生的辨析能力以及思维的深刻性.

【自我检测】

设计意图：（1）强化标准方程的特点，熟悉标准方程的形式及a，b，c间的关系，能区别椭圆和双曲线的方程.

（2）能熟练准确求双曲线的标准方程、对于待定系数法能区别对待，感受双曲线统一的标准方程mx2+ny2=1（mn<0）解决问题的优势.

（3）在运用中巩固和加深对双曲线的定义及其标准方程的理解，培养能力，让学生在“练”的过程中通过反思、感悟，优化知识结构.

（4）自主学习不是花拳绣腿，要把自主学习落到实处，要向课堂要效率.题型要全，难度适中，重点突出，难点分散，反馈及时.学生要练有所得，且得之深刻，真正做到当堂消化，当堂理解，扎扎实实练好基本功.

三、解惑释疑，洞达事理（15分钟）

现代课程理论认为，课程是一种对话，交流、体验和发展.既然是对话，那么，教师和学生之间应当具备民主的、平等的沟通，共同筑起探讨的平台，教师是组织者、引导者、旁观者，从中，教师学会了倾听，学生学会了怀疑、学会了批判，因而得到了发展；既然是交流，必定是教师与学生的互动，在互动中，学生的主体意识被唤醒，人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学学习中得到不同的发展.学生的潜能被激发，新的思想在交流中产生，从而加深对数学概念的理解和认识，提高学生自主学习能力.

（一）关于双曲线的定义

1.双曲线定义的由来：类比（椭圆）的结果，实践（试验）的产物.

2.因为双曲线是由对称的两部分曲线组成的，所以称之为双曲线.定义见教材.

注意事项：

（1）定义中必须加绝对值，没有绝对值就不能成“双”了，只能表示双曲线的一支.只有加绝对值才和谐、对称，才完美.

（2）常数小于两个定点间的距离.（直观记忆法：三角形两边之差小于第三边）

特殊地，当这个“常数”=|F1F2|时点的轨迹是两条射线.

当这个“常数”大于|F1F2|时的点的轨迹是不存在.

3.语言表述：平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫作双曲线.

其中，常数小于两个定点间的距离.

说明：教学中发现，学生即使记住定义，绝大多数学生也都是不假思考照本宣科地按照教材的写法记忆，导致表述混乱，重点不突出.针对这一情况教师需用适宜的方法对学生加以引导，使他们深刻理解数学概念.

记忆方法：对比记忆.椭圆是距离之和，双曲线是距离之差（要加绝对值）.endprint

学生提出的问题：定义中的“常数”可以为零吗？不可以，是正数.

（二）关于双曲线的标准方程

1.怎样建系：取过焦点F1，F2的直线为一个坐标轴，线段F1F2的垂直平分线为一个坐标轴.

2.怎样化简方程：两次平方.

3.由于是以双曲线的对称轴为坐标轴建系，此时得到的方程最简单，所以称为标准方程.

说明：关于建系与方程的推导做一个微课.

4.双曲线标准方程的特点：

双曲线的标准方程的结构是平方“差”等于1，而椭圆的标准方程结构是平方“和”等于1.

标准方程有两种：它们之间的关系是x，y互换即可.a2=c2-b2.

如何根据方程判断焦点位置？先化为标准方程，然后椭圆看大小，所以双曲线看正负.

记忆方法：口诀记忆.椭圆看大小，双曲线看正负.

双曲线还有其他类型的方程，这样的方程有繁有简.如，只以一条对称轴为坐标轴，不以对称轴为坐标轴.而方程的繁简取决于坐标系的建立.

（三）椭圆与双曲线的比较

1.椭圆与双曲线的定义与标准方程的异同：

椭圆的定义：“和”；方程：平方“和”=1；

双曲线的定义：“差”；方程：平方“差”=1.

2.两种方程中参数a，b，c之间的关系：

椭圆中a2=b2+c2，双曲线中a2=c2-b2.

3.焦点位置的确定：椭圆看大小，双曲线看正负.

设计说明：由于双曲线与椭圆内容极其相似，所以在课堂上应及时进行比较以加深学生对知识的理解和掌握.

学生提出的问题：（1）方程的化简有没有把范围扩大的可能？

（2）方程的推导方法直接平方可以吗？用换元的方法行吗？这样的问题通过微课帮学生解决.

（四）怎样求双曲线的标准方程

1.直接法：教材P55练习题（1）.

2.待定系数法：教材P55练习题（2）.

3.定义法：教材P55例1和教材P55练习题（3）.

设计意图：（1）会用定义求双曲线的方程，培养学生思维的深刻性.

（2）弄清求双曲线的标准方程的基本方法：待定系数法.关键是先定形后定量.（若焦点不定，则要注意分类讨论）

四、反思总结，融会贯通（5分钟）

先由两名学生总结，再师生合作一起完善总结.

（一）知识总结

1.双曲线的有关概念.

2.双曲线标准方程，如何由方程判定其焦点所在坐标轴.

（二）方法

1.研究方法：观察、比较、概括、归纳、类比、分析.

2.学习方法：类比.

3.解题方法：（1）定义法（用定义解题）；（2）标准方程的求法：直接法、待定系数法、定义法.

（三）数学思维策略

数形迁移、由此及彼.

（四）数学思想

数形结合、等价转化.

设计意图：通过画龙点睛，提纲挈领的小结，对所学知识进行提炼升华，形成学生自己的认知结构.同时培养了学生的抽象概括能力.通过提炼数学的基本思想方法，学生透过现象看本质，掌握了数学的精髓，提高数学素养，提升了思维品质.

五、自我反馈，评价提高（8分钟）

设计意图：题型有选择题、填空题.主要考查双曲线的定义、焦点坐标、求标准方程和方程的讨论以及a，b，c间的关系.通过检测题，查漏补缺，及时发现不足，并在课后加以改进.既务求当堂達标，又平中见奇，余韵悠长.endprint