基于实验情境的“等腰三角形”教学实践与思考

葛红琴

[摘 要] 初中生的思维正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，实验情境的设计与实施已经不仅仅局限于形象思维了，学生在实验情境的直观与想象中往往能够顺利向抽象思维过渡，也就是我们通常所说的“去情境化”.

[关键词] 实验情境；初中数学；等腰三角形

学生对等腰三角形的感性认知早在小学阶段就已经建立了，不过初中阶段等腰三角形的学习中又增添了更多不同的内容与思想方法，本文结合八年级等腰三角形新授课第1课时对初中数学“实验情境”的创设与实施展开了细致的研究.

教学预设

（一）学情分析

八年级学生在自主探究与合作交流学习方面已经初步积累了一定的经验，本节课在实验操作的基础上对学生主动参与、自主发现、自主探究与合作交流等知识因素进行了全面地探寻与研究.

（二）教材分析

以全等三角形与轴对称图形为基础展开等腰三角形概念与性质的探讨和研究.

性质1：两底角相等；

性质2：顶角平分线、底边上中线以及底边上的高“三线合一”.

边相等和角相等之间的转化可以依据性质1而实现，两角相等这一问题的论证也需要性质1这一重要的依据.

两条线段相等及线段垂直这类证明问题需要性质2作为重要的依据才能完成.

（三）教学重点、难点

重点：性质的探索及应用；

难点：性质的探索及证明.

折纸实验使学生对本课重难点的突破相对轻松.

（四）学习目标

1. 知识技能

（1）等腰三角形性质的推导通过轴对称变换得以实现；

（2）掌握等腰三角形的性质.

2. 数学思考

以实验操作为基础进行“情境”的数学化探究，并最终归纳、验证自身的发现，得出等腰三角形的性质.

3. 解决问题

运用等腰三角形的性质进行实际问题的解决.

4. 情感态度

（1）学习中能感受到图形的美；

（2）具备学习的热情与协作精神.

（五）教学过程

1. 创设情境，引入新课

实验一：将图1中长方形对折后剪去多余部分，展开后将会是什么样的三角形呢？

设计意图 课程标准早就对数学学习提出了从学生实际出发的具体要求，等腰三角形概念、性质、定理的发现从学生熟悉的简单剪纸出发更加容易实现.

2. 自主探索，初步感知

实验二：观察剪出的△ABC并将其沿AD对折，根据下表对照填写：

猜想1：三角形等腰时，它的两个底角相等.

猜想2：等腰三角形的顶角平分线与底边上的高两线合一.

实验三：如果将等腰三角形沿底角平分线对折，折痕两边的图形能够完全重合吗？

发现：等边三角形这一特殊的等腰三角形才存在这一现象.

强调：三线合一定理.

设计意图 帮助学生借助实验的探索掌握从一般到特殊的思想方法.

演示：利用几何画板.

设计意图 直观感受变化，加深体会.

3. 合作交流，提升认识

引导：猜想1的求证. 如图2，△ABC中，AB=AC，求證：∠B=∠C.

设问：（1）已学相关方法有哪些？

（2）折叠等腰三角形对你的证明有启发吗？

探索：鼓励学生尝试各种方法进行探索.

设计意图 挖掘学生潜能.

交流：小组合作，交流讲解.

（1）作顶角平分线；

（2）作底边上中线；

（3）作底边上的高.

关注：学生的语言是否准确、严谨.

指导：给出符号语言，规范表达.

引导发现：怎样证明猜想2？猜想1对猜想2存在启迪吗？

关注：学生对猜想2中存在的三个命题是否有敏感度.

设计意图 实验操作提升学生合情推理能力.

4. 实践应用，巩固提高

第一组：夯实基础，使学生学会分类讨论求等腰三角形内角.

设计意图 引发特殊现象的讨论，进入后续的探究学习.

第二组：巩固提高，针对教材例1进行适当改进.

例1 如图3，△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，且BD=BC=AD. （1）图中的等腰三角形是哪几个？（2）△ABC中各内角度数是多少？

实验四：引导学生在折叠、度量等实践操作中发现一些线段之间的关系. 学生中出现了特别有意思的一幕，一学生的三角形不仅存在AB=AC，将点A与点B重合折叠，折痕与AC相交于D，度量发现BD=BC，请思考：

（1）图中的等腰三角形有哪些？

（2）△ABC中各内角度数是多少？

点拨：三角形内外角定理知识的结合应用.

设计意图 方程思想的应用.

实验五：等腰三角形底边中点到两腰距离的测量.

另一种折叠也是学生的发现：对折出底边中点D，然后分别将BD，CD往上折叠，使得B，C两点分别落在AB，AC上的E，F两点，则DE=DF.

例2 如图4，△ABC中，AB=AC，底边中点是D，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE=DF.

巡视：及时发现、点评.

一题多解：通过证明△BDE≌△CDF求证出DE=DF是大部分学生的做法. 少数学生将点A，D连接了起来，并利用角平分线性质得出了DE=DF. 引导学生对两种方法进行总结.

拓展：直线AD上所有的点到两腰的距离都相等.endprint

设计意图 课堂留白，促进学生消化.

（六）归纳总结，形成网络

引导学生对本课所学进行自主小结，与同学们一起交流自身获得的体会与感受，大胆表达自身可能存在的知识困惑，在师生共同的参与和交流中圆满完成对本课的小结与心得交流.

设计意图 在教学中精心设计学生操作、探寻、交流与小结的各个环节，使得教学的民主性得到最大限度的体现，学生在一系列的自主探寻中对自身知识、能力的定位更加准确，自主学习的信心与兴趣加倍增长.

（七）自主命题，布置作业

引导学生将自身在本课学习中所获得的经验运用于习题的自主设计与创编，要求学生根据性质1和性质2进行填空、解答等各种题型的创编. 并在学生的作业创编中选出适量的填空题、解答题以及拓展题作为他们课后巩固知識的练习.

教学效果

（一）实验情境活跃氛围

五个实验情境的设计不仅使得课堂的容量增加，学生身心的参与度也是空前提高，折叠、度量、观察以及交流各项活动中都有学生积极学习态度的表现，课堂氛围无比活跃. 比如，“实验二”之后的追问也是特别能够刺激学生参与的：

1. 等腰三角形轴对称这一说法对吗？

2. 对折后的等腰三角形中哪些线段相等，哪些角相等？

3. 你发现了等腰三角形的多少性质？

学生经过思考表达了诸多结论，经过师生的共同总结与提炼最终归纳出两个猜想：

猜想1：等腰三角形中底角相等.

猜想2：等腰三角形中顶角平分线、底边上中线与高三线合一.

（二）自主编题促进生成

实践应用这一环节往往是学生身心参与度都极高的环节，而且这一环节的设计与实施对于后续例题的学习往往能起到有效的导入作用，课堂生成在这样的环节中也显得更加精彩纷呈.

师：已知三角形中两个内角的度数求第三个内角可行吗？为什么？

生：能！三角形内角和定理正是用于此类问题求解的.

师：等腰三角形第三个内角的求解也需要已知其他两个内角的度数吗？请各小组同学举例说明你的看法.

生：知道等腰三角形的一个内角度数就可以通过分类讨论求出其他两个内角的度数.

师：请同学们根据以上的结论进行等腰三角形内角和的计算与抢答.

学生在这个活动中表现得尤为积极且能保证很高的正确度，例1的学习也在抢答活动中顺利完成了.

反思

本课的五处实验情境不仅将课堂氛围积极有效地调动了起来，整节课的教学环节也因为这五处实验情境得到了很好的串联与过渡，不过，只有反思才能促进更大的进步. 我们回顾以上的教学设计与流程，不难发现这其中始终有一条明确的“核心主线”引领与推进着教学的进程. 李善良博士在有关核心主线的问题上发表过自己的看法：学生数学活动为主的教学思想是每个教师必须关注的，在此基础之上，教学过程中的“核心主线”也是每一位教师在教学之前必须弄懂理清的，否则，教学预期的效果与目标一定不可能很好地实现. 我们根据备课的设计与教学推进也不难发现，等腰三角形性质定理便是本课所有实验情境设计所遵循的主线. 比如，实验一正是等腰三角形概念的导出与后续新定理发现的基石；实验二则是等腰三角形两个性质定理获得途径的实践活动；实验四围绕对折问题进行了详细地探寻，从而将等腰三角形的轴对称、对应线段关系进行了详细讨论. 我们仔细回顾本课五处实验情境的设计与推进，教学的意图与跟进都是奔着“去情境化”这一最终目标而设计的. 比如，实验三的实践操作与讨论正是等腰三角形“三线合一”这一性质的体现；实验五是例2解题应用的导入与铺垫. 随着实验的推进与结论的得出，“去情境化”或者我们通常所说的“数学抽象”才真正实现了.endprint